Deriva la función \( f(x)=x^{2}-4 x+5 \) usando la fórmula: \( f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \) Calcula el valor de \( f^{\prime}(3) \), sustituyendo \( x=3 \) en la derivada obtenida del inciso a) para determinar el or de la pendiente de la recta tangente en el punto (3,f(3)). Gráfica la función. \( f(x)=x^{2}-4 x+5 \)

Vamos a derivar la función \( f(x) = x^{2} - 4x + 5 \) utilizando la definición de derivada que mencionas. 1. Aplicamos la fórmula de la derivada: \[ f^{\prime}(x) = \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \] 2. Calculamos \( f(x + \Delta x) \): \[ f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^{2} - 4(x + \Delta x) + 5 = x^{2} + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - 4x - 4\Delta x + 5 = x^{2} - 4x + 5 + 2x\Delta x + (\Delta x)^{2} - 4\Delta x \] Esto nos da: \[ f(x + \Delta x) - f(x) = (2x - 4)\Delta x + (\Delta x)^{2} \] 3. Sustituyendo en la fórmula de la derivada: \[ f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2x - 4)\Delta x + (\Delta x)^{2}}{\Delta x} \] Dividiendo entre \( \Delta x \): \[ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(2x - 4 + \Delta x\right) \] Finalmente, al tomar el límite cuando \( \Delta x \) tiende a 0: \[ f^{\prime}(x) = 2x - 4 \] Ahora, para hallar \( f^{\prime}(3) \): \[ f^{\prime}(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2 \] Entonces, la pendiente de la recta tangente en el punto \( (3, f(3)) \) es \( 2 \). 4. Para graficar la función \( f(x) = x^{2} - 4x + 5 \): 1. Encuentra \( f(3) \): \[ f(3) = 3^{2} - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2 \] Así que el punto es \( (3, 2) \). 2. La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba, con su vértice en \( (2, 1) \) (por la forma completa). La función tendrá una apariencia suave y continua, cruzando el eje \( y \) en \( (0, 5) \). ¡Y listo! Ya tienes la derivada, el valor en \( x=3 \), y una idea de cómo graficar la función. ¡A disfrutar de las matemáticas!