Exercice 33 : Soit $$ (S) $$ la sphère d'équation: $$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-2 y+4=0 $$ Étudier dans chacun des cas la position relative du plan $$ (P) $$ et la sphère $$ (S) $$ 1. $$ (P): x+y+z-4=0 $$ 2. $$ (P): 2 x+3 y+z+1=0 $$ 3. $$ (P): 2 x+y-2 z-8=0 $$

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Revenons à l'exercice. **1. Mise sous forme réduite de la sphère** La sphère $$ (S) $$ est donnée par $$ x^2+y^2+z^2-4x-2y+4=0. $$ Pour obtenir l’équation sous forme canonique, on complète les carrés en $$ x $$ et $$ y $$ : - Pour $$ x $$ : $$ x^2-4x=(x-2)^2-4. $$ - Pour $$ y $$ : $$ y^2-2y=(y-1)^2-1. $$ Substituons dans l’équation : $$ (x-2)^2-4+(y-1)^2-1+z^2+4=0. $$ Simplifions les constantes : $$ (x-2)^2+(y-1)^2+z^2 - (4+1-4)=0 \quad \Longrightarrow \quad (x-2)^2+(y-1)^2+z^2-1=0. $$ On obtient alors : $$ (x-2)^2+(y-1)^2+z^2=1. $$ La sphère $$ (S) $$ a donc pour centre $$ C(2,1,0) $$ et pour rayon $$ r=1 $$. --- **2. Étude de la position relative du plan et de la sphère** Pour étudier la position relative, on calcule la distance $$ d $$ entre le centre $$ C(2,1,0) $$ et le plan $$ (P) $$ considéré. Rappelons que pour un plan de l’équation $$ ax+by+cz+d=0, $$ la distance entre $$ C(x_0,y_0,z_0) $$ et le plan est donnée par $$ d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. $$ On compare ensuite $$ d $$ et $$ r $$. --- **Cas 1 :$$ (P):\ x+y+z-4=0 $$** Les coefficients sont $$ a=1,\ b=1,\ c=1,\ d=-4 $$. Calculons la valeur au centre $$ C(2,1,0) $$ : $$ |1\cdot2+1\cdot1+1\cdot0-4|=|2+1-4|=| -1 |=1. $$ La norme du vecteur normal est : $$ \sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}. $$ Donc la distance est : $$ d=\frac{1}{\sqrt{3}}. $$ On compare avec $$ r=1 $$ : $$ \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577 < 1. $$ La distance étant inférieure au rayon, le plan coupe la sphère. --- **Cas 2 :$$ (P):\ 2x+3y+z+1=0 $$** Les coefficients sont $$ a=2,\ b=3,\ c=1,\ d=1 $$. Calculons la valeur au centre $$ C(2,1,0) $$ : $$ |2\cdot2+3\cdot1+1\cdot0+1|=|4+3+1|=8. $$ La norme du vecteur normal est : $$ \sqrt{2^2+3^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}. $$ La distance est donc : $$ d=\frac{8}{\sqrt{14}}. $$ On remarque que : $$ \frac{8}{\sqrt{14}}\approx \frac{8}{3,74}\approx 2,14 > 1. $$ La distance étant supérieure au rayon, le plan ne coupe pas la sphère (position extérieure). --- **Cas 3 :$$ (P):\ 2x+y-2z-8=0 $$** Les coefficients sont $$ a=2,\ b=1,\ c=-2,\ d=-8 $$. Calculons la valeur au centre $$ C(2,1,0) $$ : $$ |2\cdot2+1\cdot1-2\cdot0-8|=|4+1-8|=| -3 |=3. $$ La norme du vecteur normal est : $$ \sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3. $$ La distance est donc : $$ d=\frac{3}{3}=1. $$ Ici, $$ d=r=1 $$. Lorsque la distance vaut exactement le rayon, le plan est tangent à la sphère. --- **Conclusion** 1. Pour $$ (P):\ x+y+z-4=0 $$, la distance $$ d=\frac{1}{\sqrt{3}}<1 $$ : le plan coupe la sphère. 2. Pour $$ (P):\ 2x+3y+z+1=0 $$, la distance $$ d=\frac{8}{\sqrt{14}}>1 $$ : le plan est extérieur à la sphère. 3. Pour $$ (P):\ 2x+y-2z-8=0 $$, la distance $$ d=1=r $$ : le plan est tangent à la sphère. For each plane: 1. $$ (P): x + y + z - 4 = 0 $$ **cuts** the sphere. 2. $$ (P): 2x + 3y + z + 1 = 0 $$ is **outside** the sphere. 3. $$ (P): 2x + y - 2z - 8 = 0 $$ is **tangent** to the sphere.

Exercice 33 : Soit la sphère d’équation:

Étudier dans chacun des cas la position relative du plan
et la sphère

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Exercice 33 : Soit la sphère d’équation: Étudier dans chacun des cas la position relative du plan et la sphère