EJERCICIO 62 1. \( (m+3)^{2}=m^{2}+6 m+9 \) 2. \( (5+x)^{2}=25+10 x+x^{2} \) 3. \( (6 a+b)^{2}=36 a^{2}+12 a b+b^{2} \) 4. \( (9+4 m)^{2}=81+72 m+16 m^{2} \) 5. \( (7 x+11)^{2}=49 x^{2}+154 x+121 \) 6. \( (x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} \) 7. \( \left(1+3 x^{2}\right)^{2}=1+6 x^{2}+9 x^{4} \) 8. \( (2 x+3 y)^{2}=4 x^{2}+12 x y+9 y^{2} \) 9. \( \left(a^{2} x+b y^{2}\right)^{2}=a^{4} x^{2}+2 a^{2} x b y^{2}+b^{2} y^{4} \)

1. Para \( (m+3)^2 \) usamos la identidad \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \] donde \(a=m\) y \(b=3\). Entonces: \[ (m+3)^2=m^2+2\cdot m\cdot 3+3^2=m^2+6m+9. \] 2. Para \( (5+x)^2 \) identificamos \(a=5\) y \(b=x\) en la misma identidad: \[ (5+x)^2=5^2+2\cdot 5\cdot x+x^2=25+10x+x^2. \] 3. En \( (6a+b)^2 \) tenemos \(a=6a\) y \(b=b\): \[ (6a+b)^2=(6a)^2+2\cdot (6a)\cdot b+b^2=36a^2+12ab+b^2. \] 4. Para \( (9+4m)^2 \) asignamos \(a=9\) y \(b=4m\): \[ (9+4m)^2=9^2+2\cdot 9\cdot 4m+(4m)^2=81+72m+16m^2. \] 5. En \( (7x+11)^2 \), con \(a=7x\) y \(b=11\), obtenemos: \[ (7x+11)^2=(7x)^2+2\cdot 7x\cdot 11+11^2=49x^2+154x+121. \] 6. Para \( (x+y)^2 \) se aplica directamente: \[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \] 7. En \( \left(1+3x^2\right)^2 \) se tiene \(a=1\) y \(b=3x^2\): \[ \left(1+3x^2\right)^2=1^2+2\cdot 1\cdot 3x^2+(3x^2)^2=1+6x^2+9x^4. \] 8. Para \( (2x+3y)^2 \) se identifica \(a=2x\) y \(b=3y\), y se obtiene: \[ (2x+3y)^2=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 3y+(3y)^2=4x^2+12xy+9y^2. \] 9. En \( \left(a^2x+by^2\right)^2 \) se tiene \(a=a^2x\) y \(b=by^2\). Aplicando la identidad: \[ \left(a^2x+by^2\right)^2=(a^2x)^2+2\cdot (a^2x)(by^2)+(by^2)^2, \] se simplifica: \[ (a^2x)^2=a^4x^2,\quad 2\cdot (a^2x)(by^2)=2a^2bxy^2,\quad (by^2)^2=b^2y^4. \] Así: \[ \left(a^2x+by^2\right)^2=a^4x^2+2a^2bxy^2+b^2y^4. \]