Si $$ y=F(x) $$ es una antiderivada de $$ f(x)=2 x-3 $$ ¿Cuál de los sigulentes puntos no pertenecen $$ F(x) $$ ? a. $$ (4,4) $$ b. $$ (3,0) $$ c. $$ (2,-1) $$ d. $$ (1,-2) $$

Question

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Sea $$ F(x) $$ una antiderivada de $$ f(x)=2x-3 $$. Entonces, en general, tenemos

$$
F(x)=\int (2x-3)\, dx=x^2-3x+C,
$$

donde $$ C $$ es una constante arbitraria.

Para determinar si un punto $$ (a,b) $$ pertenece a la curva $$ F(x) $$, se debe cumplir que

$$
F(a)=a^2-3a+C = b.
$$

Revisemos cada uno de los puntos:

1. Para el punto $$ (4,4) $$:
   $$
   F(4)=4^2-3\cdot4+C=16-12+C=4+C.
   $$
   Si queremos que $$ F(4)=4 $$, entonces
   $$
   4+C=4 \implies C=0.
   $$

2. Para el punto $$ (3,0) $$:
   $$
   F(3)=3^2-3\cdot3+C=9-9+C=0+C=C.
   $$
   Para que $$ F(3)=0 $$, se requiere
   $$
   C=0.
   $$

3. Para el punto $$ (1,-2) $$:
   $$
   F(1)=1^2-3\cdot1+C=1-3+C=-2+C.
   $$
   Para que $$ F(1)=-2 $$, debemos tener
   $$
   -2+C=-2 \implies C=0.
   $$

4. Para el punto $$ (2,-1) $$:
   $$
   F(2)=2^2-3\cdot2+C=4-6+C=-2+C.
   $$
   Para que $$ F(2)=-1 $$, se necesita
   $$
   -2+C=-1 \implies C=1.
   $$

Observamos que los puntos $$ (4,4) $$, $$ (3,0) $$ y $$ (1,-2) $$ obligan a tomar $$ C=0 $$; sin embargo, $$ (2,-1) $$ requiere $$ C=1 $$. Como la constante $$ C $$ debe ser única para una antiderivada dada, se concluye que el punto $$ (2,-1) $$ no puede pertenecer a la misma antiderivada $$ F(x) $$ que contiene a los otros tres puntos.

Por lo tanto, el punto que no pertenece a $$ F(x) $$ es

$$
(2,-1).
$$
El punto que no pertenece a $$ F(x) $$ es $$ (2, -1) $$.

Si es una antiderivada de
¿Cuál de los sigulentes puntos no pertenecen
?
a.
b.
c.
d.

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