5. Un insecto se encuentra en un medio ambiente tóxico. El nivel de toxicidad está dado por \( T(x, y)=2 x^{2}-4 y^{2} \). El insecto está en \( (-1,2) \). ¿En qué dirección deberá moverse para disminuir lo más rápido posible la toxicidad?

1. Primero, identificamos la función de toxicidad: \[ T(x, y) = 2x^2 - 4y^2 \] 2. Calculamos el gradiente de \( T \), que se define como \[ \nabla T = \left(\frac{\partial T}{\partial x},\, \frac{\partial T}{\partial y}\right) \] y obtenemos: \[ \frac{\partial T}{\partial x} = 4x \quad \text{y} \quad \frac{\partial T}{\partial y} = -8y \] Por lo tanto, \[ \nabla T(x, y) = (4x,\,-8y) \] 3. Evaluamos el gradiente en el punto \((-1, 2)\): \[ \nabla T(-1,2) = (4(-1),\, -8(2)) = (-4,\,-16) \] 4. La dirección en la que el insecto debe moverse para disminuir la toxicidad lo más rápido posible es en la dirección opuesta al gradiente, o sea, en la dirección de \(-\nabla T\). Así: \[ -\nabla T(-1,2) = (4,\, 16) \] 5. Para obtener la dirección como un vector unitario, calculamos la norma de \((4, 16)\): \[ \| (4,16) \| = \sqrt{4^2 + 16^2} = \sqrt{16 + 256} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17} \] 6. El vector unitario en esa dirección es: \[ \left(\frac{4}{4\sqrt{17}},\, \frac{16}{4\sqrt{17}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{17}},\, \frac{4}{\sqrt{17}}\right) \] Por lo tanto, el insecto debe moverse en la dirección \[ \left(\frac{1}{\sqrt{17}},\, \frac{4}{\sqrt{17}}\right) \] para disminuir lo más rápido posible la toxicidad.