$$ x^{\prime}(t)=3 x(t)-18 y(t), \quad x(0)=0 $$ $$ y^{\prime}(t)=2 x(t)+9 y(t), \quad y(0)=1 $$ Gráfique de las soluciones de este sistema (x y como funciones de t ) así

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consider el sistema

$$
x^{\prime}(t)=3x(t)-18y(t), \quad x(0)=0,
$$
$$
y^{\prime}(t)=2x(t)+9y(t), \quad y(0)=1.
$$

Para resolverlo, lo escribiremos en forma matricial:

$$
\mathbf{z}^\prime(t)=A\,\mathbf{z}(t),\quad \text{donde}\quad \mathbf{z}(t)=
\begin{pmatrix}
x(t)\[1mm]
y(t)
\end{pmatrix},\qquad
A=
\begin{pmatrix}
3 & -18\[1mm]
2 & 9
\end{pmatrix}.
$$

---

### Paso 1. Calcular los autovalores

Los autovalores $$\lambda$$ se obtienen de la ecuación característica

$$
\det(A-\lambda I)=0.
$$

Calculamos la determinante:

$$
\det
\begin{pmatrix}
3-\lambda & -18\[1mm]
2 & 9-\lambda
\end{pmatrix}
=(3-\lambda)(9-\lambda)-(-18)(2).
$$

Desarrollemos:

$$
(3-\lambda)(9-\lambda)=27-3\lambda-9\lambda+\lambda^2=\lambda^2-12\lambda+27,
$$
$$
\text{y}\quad -(-18\cdot 2)=+36.
$$

Luego la ecuación característica es

$$
\lambda^2-12\lambda+27+36=\lambda^2-12\lambda+63=0.
$$

Para hallar las raíces usamos la fórmula cuadrática:

$$
\lambda=\frac{12\pm\sqrt{144-4\cdot1\cdot63}}{2}
=\frac{12\pm\sqrt{144-252}}{2}
=\frac{12\pm\sqrt{-108}}{2}.
$$

Observa que

$$
\sqrt{-108}= \sqrt{108}\,i=6\sqrt{3}\,i.
$$

Por lo tanto,

$$
\lambda= \frac{12\pm6\sqrt{3}\,i}{2}=6\pm3\sqrt{3}\,i.
$$

---

### Paso 2. Escribir la solución en forma real

Dado que los autovalores son complejos conjugados $$\lambda=6\pm3\sqrt{3}\,i$$, la solución general tendrá la forma

$$
x(t)=e^{6t}\Bigl(C_1\cos(3\sqrt{3}\,t)+C_2\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr),
$$
$$
y(t)=e^{6t}\Bigl(D_1\cos(3\sqrt{3}\,t)+D_2\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr),
$$
donde las constantes $$C_1,C_2,D_1,D_2$$ se determinarán a partir de la estructura del sistema y las condiciones iniciales.

Una forma sistemática es hallar un autovector complejo asociado a uno de los autovalores y separar las partes reales e imaginarias. Seleccionemos $$\lambda=6+3\sqrt{3}\,i$$. Buscamos un vector $$\mathbf{v}=(v_1,v_2)^T$$ tal que

$$
(A-\lambda I)\mathbf{v}=0.
$$

Escribamos la primera fila:

$$
(3-(6+3\sqrt{3}\,i))\,v_1 - 18\,v_2 =0.
$$

Esto es

$$
(-3-3\sqrt{3}\,i)v_1-18v_2=0\quad\Longrightarrow\quad v_2=-\frac{3+3\sqrt{3}\,i}{18}\,v_1=-\frac{1+\sqrt{3}\,i}{6}\,v_1.
$$

Podemos elegir $$v_1=6$$ (para eliminar denominadores), de modo que

$$
v_2=-(1+\sqrt{3}\,i).
$$

Por lo tanto, un autovector es

$$
\mathbf{v}=
\begin{pmatrix}
6\[1mm]
-(1+\sqrt{3}\,i)
\end{pmatrix}.
$$

Ahora separamos en parte real e imaginaria. Escriba

$$
\mathbf{v}=\Re(\mathbf{v})+i\,\Im(\mathbf{v}),
$$

donde

$$
\Re(\mathbf{v})=
\begin{pmatrix}
6\
-1
\end{pmatrix},\qquad
\Im(\mathbf{v})=
\begin{pmatrix}
0\[1mm]
-\sqrt{3}
\end{pmatrix}.
$$

La solución general real del sistema es entonces

$$
\mathbf{z}(t)=e^{6t}\Bigl[C\,\Re\Bigl(e^{i3\sqrt{3}\,t}\mathbf{v}\Bigr)+D\,\Im\Bigl(e^{i3\sqrt{3}\,t}\mathbf{v}\Bigr)\Bigr],
$$
con constantes reales $$C$$ y $$D$$.

Observando que

$$
e^{i3\sqrt{3}\,t}\mathbf{v} =\mathbf{v}\Bigl(\cos(3\sqrt{3}\,t)+i\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr),
$$

se tiene que

$$
\Re\Bigl(e^{i3\sqrt{3}\,t}\mathbf{v}\Bigr)=\Re(\mathbf{v})\cos(3\sqrt{3}\,t)-\Im(\mathbf{v})\sin(3\sqrt{3}\,t),
$$
$$
\Im\Bigl(e^{i3\sqrt{3}\,t}\mathbf{v}\Bigr)=\Re(\mathbf{v})\sin(3\sqrt{3}\,t)+\Im(\mathbf{v})\cos(3\sqrt{3}\,t).
$$

Por lo tanto, la solución se puede escribir componente a componente.

Para la componente $$x(t)$$ (primera entrada) usamos que $$\Re(\mathbf{v})_1=6$$ y $$\Im(\mathbf{v})_1=0$$:

$$
x(t)=e^{6t}\Bigl[\,C\,(6\cos(3\sqrt{3}\,t)-0\cdot\sin(3\sqrt{3}\,t)
)+D\,(6\sin(3\sqrt{3}\,t)+0\cdot\cos(3\sqrt{3}\,t)
)\Bigr].
$$
Es decir,

$$
x(t)=6e^{6t}\Bigl[C\cos(3\sqrt{3}\,t)+D\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr].
$$

Para la componente $$y(t)$$ (segunda entrada) usamos $$\Re(\mathbf{v})_2=-1$$ y $$\Im(\mathbf{v})_2=-\sqrt{3}$$:

$$
y(t)=e^{6t}\Bigl[C\,\Bigl(-\cos(3\sqrt{3}\,t)-(-\sqrt{3})\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr)
+D\,\Bigl(-\sin(3\sqrt{3}\,t)+(-\sqrt{3})\cos(3\sqrt{3}\,t)\Bigr)\Bigr].
$$

Nótese el signo: usando la fórmula,

$$
\Re: \quad -1\cos(3\sqrt{3}\,t)-(-\sqrt{3})\sin(3\sqrt{3}\,t)
= -\cos(3\sqrt{3}\,t)+\sqrt{3}\sin(3\sqrt{3}\,t),
$$
$$
\Im: \quad -1\sin(3\sqrt{3}\,t)+(-\sqrt{3})\cos(3\sqrt{3}\,t)
= -\sin(3\sqrt{3}\,t)-\sqrt{3}\cos(3\sqrt{3}\,t).
$$

Así,

$$
y(t)=e^{6t}\Bigl[C\Bigl(-\cos(3\sqrt{3}\,t)+\sqrt{3}\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr)
+D\Bigl(-\sin(3\sqrt{3}\,t)-\sqrt{3}\cos(3\sqrt{3}\,t)\Bigr)\Bigr].
$$

---

### Paso 3. Aplicar las condiciones iniciales

Evaluamos $$t=0$$. Recordando que $$\cos(0)=1$$ y $$\sin(0)=0$$, obtenemos:

Para $$x(t)$$:

$$
x(0)=6e^0\Bigl[C\cdot1+D\cdot0\Bigr]=6C.
$$
Dado que $$x(0)=0$$, se tiene

$$
6C=0\quad\Longrightarrow\quad C=0.
$$

Para $$y(t)$$:

$$
y(0)=e^0\Bigl[C(-1+0)+D(0-\sqrt{
La solución del sistema es: \[ x(t) = 6e^{6t}\sin(3\sqrt{3}t) $$ $$ y(t) = -e^{6t}\cos(3\sqrt{3}t) $$ Estas funciones representan las soluciones de $$x(t)$$ y $$y(t)$$ en términos de $$t$$.

Gráfique de las soluciones de este sistema (x y como funciones de t ) así

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Paso 1. Calcular los autovalores

Paso 2. Escribir la solución en forma real

Paso 3. Aplicar las condiciones iniciales

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Other Questions