$$ x^{\prime}(t)=3 x(t)-18 y(t), \quad x(0)=0 $$ $$ y^{\prime}(t)=2 x(t)+9 y(t), \quad y(0)=1 $$ Gráfique de las soluciones de este sistema (x y como funciones de t ) así

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consider el sistema

$$
x^{\prime}(t)=3x(t)-18y(t), \quad x(0)=0,
$$
$$
y^{\prime}(t)=2x(t)+9y(t), \quad y(0)=1.
$$

Para resolverlo, lo escribiremos en forma matricial:

$$
\mathbf{z}^\prime(t)=A\,\mathbf{z}(t),\quad \text{donde}\quad \mathbf{z}(t)=
\begin{pmatrix}
x(t)\[1mm]
y(t)
\end{pmatrix},\qquad
A=
\begin{pmatrix}
3 & -18\[1mm]
2 & 9
\end{pmatrix}.
$$

---

### Paso 1. Calcular los autovalores

Los autovalores $$\lambda$$ se obtienen de la ecuación característica

$$
\det(A-\lambda I)=0.
$$

Calculamos la determinante:

$$
\det
\begin{pmatrix}
3-\lambda & -18\[1mm]
2 & 9-\lambda
\end{pmatrix}
=(3-\lambda)(9-\lambda)-(-18)(2).
$$

Desarrollemos:

$$
(3-\lambda)(9-\lambda)=27-3\lambda-9\lambda+\lambda^2=\lambda^2-12\lambda+27,
$$
$$
\text{y}\quad -(-18\cdot 2)=+36.
$$

Luego la ecuación característica es

$$
\lambda^2-12\lambda+27+36=\lambda^2-12\lambda+63=0.
$$

Para hallar las raíces usamos la fórmula cuadrática:

$$
\lambda=\frac{12\pm\sqrt{144-4\cdot1\cdot63}}{2}
=\frac{12\pm\sqrt{144-252}}{2}
=\frac{12\pm\sqrt{-108}}{2}.
$$

Observa que

$$
\sqrt{-108}= \sqrt{108}\,i=6\sqrt{3}\,i.
$$

Por lo tanto,

$$
\lambda= \frac{12\pm6\sqrt{3}\,i}{2}=6\pm3\sqrt{3}\,i.
$$

---

### Paso 2. Escribir la solución en forma real

Dado que los autovalores son complejos conjugados $$\lambda=6\pm3\sqrt{3}\,i$$, la solución general tendrá la forma

$$
x(t)=e^{6t}\Bigl(C_1\cos(3\sqrt{3}\,t)+C_2\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr),
$$
$$
y(t)=e^{6t}\Bigl(D_1\cos(3\sqrt{3}\,t)+D_2\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr),
$$
donde las constantes $$C_1,C_2,D_1,D_2$$ se determinarán a partir de la estructura del sistema y las condiciones iniciales.

Una forma sistemática es hallar un autovector complejo asociado a uno de los autovalores y separar las partes reales e imaginarias. Seleccionemos $$\lambda=6+3\sqrt{3}\,i$$. Buscamos un vector $$\mathbf{v}=(v_1,v_2)^T$$ tal que

$$
(A-\lambda I)\mathbf{v}=0.
$$

Escribamos la primera fila:

$$
(3-(6+3\sqrt{3}\,i))\,v_1 - 18\,v_2 =0.
$$

Esto es

$$
(-3-3\sqrt{3}\,i)v_1-18v_2=0\quad\Longrightarrow\quad v_2=-\frac{3+3\sqrt{3}\,i}{18}\,v_1=-\frac{1+\sqrt{3}\,i}{6}\,v_1.
$$

Podemos elegir $$v_1=6$$ (para eliminar denominadores), de modo que

$$
v_2=-(1+\sqrt{3}\,i).
$$

Por lo tanto, un autovector es

$$
\mathbf{v}=
\begin{pmatrix}
6\[1mm]
-(1+\sqrt{3}\,i)
\end{pmatrix}.
$$

Ahora separamos en parte real e imaginaria. Escriba

$$
\mathbf{v}=\Re(\mathbf{v})+i\,\Im(\mathbf{v}),
$$

donde

$$
\Re(\mathbf{v})=
\begin{pmatrix}
6\
-1
\end{pmatrix},\qquad
\Im(\mathbf{v})=
\begin{pmatrix}
0\[1mm]
-\sqrt{3}
\end{pmatrix}.
$$

La solución general real del sistema es entonces

$$
\mathbf{z}(t)=e^{6t}\Bigl[C\,\Re\Bigl(e^{i3\sqrt{3}\,t}\mathbf{v}\Bigr)+D\,\Im\Bigl(e^{i3\sqrt{3}\,t}\mathbf{v}\Bigr)\Bigr],
$$
con constantes reales $$C$$ y $$D$$.

Observando que

$$
e^{i3\sqrt{3}\,t}\mathbf{v} =\mathbf{v}\Bigl(\cos(3\sqrt{3}\,t)+i\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr),
$$

se tiene que

$$
\Re\Bigl(e^{i3\sqrt{3}\,t}\mathbf{v}\Bigr)=\Re(\mathbf{v})\cos(3\sqrt{3}\,t)-\Im(\mathbf{v})\sin(3\sqrt{3}\,t),
$$
$$
\Im\Bigl(e^{i3\sqrt{3}\,t}\mathbf{v}\Bigr)=\Re(\mathbf{v})\sin(3\sqrt{3}\,t)+\Im(\mathbf{v})\cos(3\sqrt{3}\,t).
$$

Por lo tanto, la solución se puede escribir componente a componente.

Para la componente $$x(t)$$ (primera entrada) usamos que $$\Re(\mathbf{v})_1=6$$ y $$\Im(\mathbf{v})_1=0$$:

$$
x(t)=e^{6t}\Bigl[\,C\,(6\cos(3\sqrt{3}\,t)-0\cdot\sin(3\sqrt{3}\,t)
)+D\,(6\sin(3\sqrt{3}\,t)+0\cdot\cos(3\sqrt{3}\,t)
)\Bigr].
$$
Es decir,

$$
x(t)=6e^{6t}\Bigl[C\cos(3\sqrt{3}\,t)+D\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr].
$$

Para la componente $$y(t)$$ (segunda entrada) usamos $$\Re(\mathbf{v})_2=-1$$ y $$\Im(\mathbf{v})_2=-\sqrt{3}$$:

$$
y(t)=e^{6t}\Bigl[C\,\Bigl(-\cos(3\sqrt{3}\,t)-(-\sqrt{3})\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr)
+D\,\Bigl(-\sin(3\sqrt{3}\,t)+(-\sqrt{3})\cos(3\sqrt{3}\,t)\Bigr)\Bigr].
$$

Nótese el signo: usando la fórmula,

$$
\Re: \quad -1\cos(3\sqrt{3}\,t)-(-\sqrt{3})\sin(3\sqrt{3}\,t)
= -\cos(3\sqrt{3}\,t)+\sqrt{3}\sin(3\sqrt{3}\,t),
$$
$$
\Im: \quad -1\sin(3\sqrt{3}\,t)+(-\sqrt{3})\cos(3\sqrt{3}\,t)
= -\sin(3\sqrt{3}\,t)-\sqrt{3}\cos(3\sqrt{3}\,t).
$$

Así,

$$
y(t)=e^{6t}\Bigl[C\Bigl(-\cos(3\sqrt{3}\,t)+\sqrt{3}\sin(3\sqrt{3}\,t)\Bigr)
+D\Bigl(-\sin(3\sqrt{3}\,t)-\sqrt{3}\cos(3\sqrt{3}\,t)\Bigr)\Bigr].
$$

---

### Paso 3. Aplicar las condiciones iniciales

Evaluamos $$t=0$$. Recordando que $$\cos(0)=1$$ y $$\sin(0)=0$$, obtenemos:

Para $$x(t)$$:

$$
x(0)=6e^0\Bigl[C\cdot1+D\cdot0\Bigr]=6C.
$$
Dado que $$x(0)=0$$, se tiene

$$
6C=0\quad\Longrightarrow\quad C=0.
$$

Para $$y(t)$$:

$$
y(0)=e^0\Bigl[C(-1+0)+D(0-\sqrt{
La solución del sistema es: \[ x(t) = 6e^{6t}\sin(3\sqrt{3}t) $$ $$ y(t) = -e^{6t}\cos(3\sqrt{3}t) $$ Estas funciones representan las soluciones de $$x(t)$$ y $$y(t)$$ en términos de $$t$$.

Gráfique de las soluciones de este sistema (x y como funciones de t ) así

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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