9-18 Calculez l'intégrale triple. 9. \( \iiint_{E} y d V \), où \( E=\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq x, x-y \leq z \leq x+y\} \).

Soit l'intégrale \[ \iiint_{E} y\, dV, \] avec \[ E=\{(x,y,z) \mid 0 \leq x \leq 3,\; 0 \leq y \leq x,\; x-y \leq z \leq x+y\}. \] Nous pouvons écrire l'intégrale triple sous la forme \[ \int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{x}\int_{z=x-y}^{x+y} y\,dz\,dy\,dx. \] **Étape 1 : Intégration par rapport à \(z\)** Comme \(y\) est indépendant de \(z\), on a \[ \int_{z=x-y}^{x+y} y\,dz = y\Big[(x+y)-(x-y)\Big] = y\Big[2y\Big] = 2y^2. \] L'intégrale devient alors \[ \int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{x} 2y^2\,dy\,dx. \] **Étape 2 : Intégration par rapport à \(y\)** Calculons \[ \int_{y=0}^{x} 2y^2\,dy. \] On a \[ \int_{y=0}^{x} y^2\,dy = \frac{x^3}{3}, \] donc \[ \int_{y=0}^{x} 2y^2\,dy = 2\cdot\frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3}. \] L'intégrale se réduit à \[ \int_{x=0}^{3} \frac{2x^3}{3}\,dx = \frac{2}{3}\int_{x=0}^{3} x^3\,dx. \] **Étape 3 : Intégration par rapport à \(x\)** Calculons \[ \int_{x=0}^{3} x^3\,dx. \] On a \[ \int_{x=0}^{3} x^3\,dx = \left.\frac{x^4}{4}\right|_{0}^{3} = \frac{3^4}{4} = \frac{81}{4}. \] D'où, \[ \frac{2}{3}\int_{x=0}^{3} x^3\,dx = \frac{2}{3}\cdot\frac{81}{4} = \frac{162}{12} = \frac{27}{2}. \] **Conclusion** L'intégrale triple vaut \[ \boxed{\frac{27}{2}}. \]