2. (Ingreso marginal ) si la ecuación de demanda es $$ x^{3 / 2}+50 p=1000 $$, calcule el ingreso marginal cuando $$ p=16 $$.

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Para calcular el ingreso marginal, primero necesitamos encontrar la función de ingreso total (IT) y luego derivarla para obtener el ingreso marginal (IM).

La ecuación de demanda dada es:

$$
x^{3/2} + 50p = 1000
$$

Despejamos $$x$$ en función de $$p$$:

$$
x^{3/2} = 1000 - 50p
$$

$$
x = (1000 - 50p)^{2/3}
$$

El ingreso total (IT) se calcula como el precio $$p$$ multiplicado por la cantidad $$x$$:

$$
IT = p \cdot x = p \cdot (1000 - 50p)^{2/3}
$$

Ahora, para encontrar el ingreso marginal, derivamos la función de ingreso total con respecto a $$p$$:

$$
IM = \frac{d(IT)}{dp}
$$

Usamos la regla del producto y la regla de la cadena para derivar:

$$
IM = \frac{d}{dp} \left( p \cdot (1000 - 50p)^{2/3} \right)
$$

Aplicamos la regla del producto:

$$
IM = (1000 - 50p)^{2/3} + p \cdot \frac{d}{dp} \left( (1000 - 50p)^{2/3} \right)
$$

Ahora, derivamos $$ (1000 - 50p)^{2/3} $$ usando la regla de la cadena:

$$
\frac{d}{dp} \left( (1000 - 50p)^{2/3} \right) = \frac{2}{3} (1000 - 50p)^{-1/3} \cdot (-50)
$$

Sustituyendo esto en la expresión de $$IM$$:

$$
IM = (1000 - 50p)^{2/3} + p \cdot \left( \frac{2}{3} (1000 - 50p)^{-1/3} \cdot (-50) \right)
$$

Simplificamos:

$$
IM = (1000 - 50p)^{2/3} - \frac{100p}{3} (1000 - 50p)^{-1/3}
$$

Ahora, evaluamos $$IM$$ cuando $$p = 16$$:

Primero, calculamos $$x$$ cuando $$p = 16$$:

$$
x = (1000 - 50 \cdot 16)^{2/3} = (1000 - 800)^{2/3} = (200)^{2/3}
$$

Calculamos $$ (200)^{2/3} $$:

$$
(200)^{2/3} = \left( 200^{1/3} \right)^2
$$

Calculamos $$200^{1/3}$$:

$$
200^{1/3} \approx 5.848
$$

Entonces:

$$
(200)^{2/3} \approx (5.848)^2 \approx 34.24
$$

Ahora sustituimos $$p = 16$$ en la fórmula de $$IM$$:

$$
IM = (200)^{2/3} - \frac{100 \cdot 16}{3} (200)^{-1/3}
$$

Calculamos $$ (200)^{-1/3} $$:

$$
(200)^{-1/3} \approx \frac{1}{5.848} \approx 0.171
$$

Sustituyendo:

$$
IM \approx 34.24 - \frac{1600}{3} \cdot 0.171
$$

Calculamos:

$$
\frac{1600}{3} \cdot 0.171 \approx 91.43
$$

Finalmente:

$$
IM \approx 34.24 - 91.43 \approx -57.19
$$

Por lo tanto, el ingreso marginal cuando $$p = 16$$ es aproximadamente:

$$
IM \approx -57.19
$$
El ingreso marginal cuando $$p = 16$$ es aproximadamente -57.19.

2. (Ingreso marginal ) si la ecuación de demanda es \( x^{3 / 2}+50 p=1000 \), calcule el ingreso marginal cuando \( p=16 \).

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