2. (Ingreso marginal ) si la ecuación de demanda es \( x^{3 / 2}+50 p=1000 \), calcule el ingreso marginal cuando \( p=16 \).

Para calcular el ingreso marginal, primero necesitamos encontrar la función de ingreso total (IT) y luego derivarla para obtener el ingreso marginal (IM). La ecuación de demanda dada es: \[ x^{3/2} + 50p = 1000 \] Despejamos \(x\) en función de \(p\): \[ x^{3/2} = 1000 - 50p \] \[ x = (1000 - 50p)^{2/3} \] El ingreso total (IT) se calcula como el precio \(p\) multiplicado por la cantidad \(x\): \[ IT = p \cdot x = p \cdot (1000 - 50p)^{2/3} \] Ahora, para encontrar el ingreso marginal, derivamos la función de ingreso total con respecto a \(p\): \[ IM = \frac{d(IT)}{dp} \] Usamos la regla del producto y la regla de la cadena para derivar: \[ IM = \frac{d}{dp} \left( p \cdot (1000 - 50p)^{2/3} \right) \] Aplicamos la regla del producto: \[ IM = (1000 - 50p)^{2/3} + p \cdot \frac{d}{dp} \left( (1000 - 50p)^{2/3} \right) \] Ahora, derivamos \( (1000 - 50p)^{2/3} \) usando la regla de la cadena: \[ \frac{d}{dp} \left( (1000 - 50p)^{2/3} \right) = \frac{2}{3} (1000 - 50p)^{-1/3} \cdot (-50) \] Sustituyendo esto en la expresión de \(IM\): \[ IM = (1000 - 50p)^{2/3} + p \cdot \left( \frac{2}{3} (1000 - 50p)^{-1/3} \cdot (-50) \right) \] Simplificamos: \[ IM = (1000 - 50p)^{2/3} - \frac{100p}{3} (1000 - 50p)^{-1/3} \] Ahora, evaluamos \(IM\) cuando \(p = 16\): Primero, calculamos \(x\) cuando \(p = 16\): \[ x = (1000 - 50 \cdot 16)^{2/3} = (1000 - 800)^{2/3} = (200)^{2/3} \] Calculamos \( (200)^{2/3} \): \[ (200)^{2/3} = \left( 200^{1/3} \right)^2 \] Calculamos \(200^{1/3}\): \[ 200^{1/3} \approx 5.848 \] Entonces: \[ (200)^{2/3} \approx (5.848)^2 \approx 34.24 \] Ahora sustituimos \(p = 16\) en la fórmula de \(IM\): \[ IM = (200)^{2/3} - \frac{100 \cdot 16}{3} (200)^{-1/3} \] Calculamos \( (200)^{-1/3} \): \[ (200)^{-1/3} \approx \frac{1}{5.848} \approx 0.171 \] Sustituyendo: \[ IM \approx 34.24 - \frac{1600}{3} \cdot 0.171 \] Calculamos: \[ \frac{1600}{3} \cdot 0.171 \approx 91.43 \] Finalmente: \[ IM \approx 34.24 - 91.43 \approx -57.19 \] Por lo tanto, el ingreso marginal cuando \(p = 16\) es aproximadamente: \[ IM \approx -57.19 \]