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Caso 2: La función de temperatura \( T(x, y)=3 x^{2}-y^{2}+4 x \) tiene un punto critico en \( (x, y)=\left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) ¿Cómo se determina su naturaleza? Observando los valores cercanos al punto crítico Usando la segunda derivada para calcular el valor de D. Calculando el gradiente y evaluando si es cero.

Ask by Lang Frank. in Mexico
Mar 15,2025

Upstudy AI Solution

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Answer

El punto crítico \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\) es un punto de silla.

Solution

1. Definir la función: \[ T(x, y) = 3x^2 - y^2 + 4x \] 2. Calcular el gradiente para confirmar el punto crítico \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\): - Derivada parcial respecto a \( x \): \[ T_x = \frac{\partial T}{\partial x} = 6x + 4 \] - Derivada parcial respecto a \( y \): \[ T_y = \frac{\partial T}{\partial y} = -2y \] Evaluando en el punto: - Para \( x \): \[ T_x\left(-\frac{2}{3}, 0\right) = 6\left(-\frac{2}{3}\right) + 4 = -4 + 4 = 0 \] - Para \( y \): \[ T_y\left(-\frac{2}{3}, 0\right) = -2(0) = 0 \] El gradiente es nulo; por tanto, \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\) es un punto crítico. 3. Calcular las segundas derivadas para aplicar la prueba de la segunda derivada: - Segunda derivada respecto a \( x \): \[ T_{xx} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 6 \] - Segunda derivada respecto a \( y \): \[ T_{yy} = \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = -2 \] - Derivada mixta: \[ T_{xy} = \frac{\partial^2 T}{\partial x \partial y} = 0 \] 4. Calcular el discriminante \( D \): \[ D = T_{xx}T_{yy} - \left(T_{xy}\right)^2 = 6 \times (-2) - 0^2 = -12 \] 5. Determinar la naturaleza del punto crítico: - Si \( D > 0 \) y \( T_{xx} > 0 \) se tiene mínimo. - Si \( D > 0 \) y \( T_{xx} < 0 \) se tiene máximo. - Si \( D < 0 \), el punto crítico es un punto de silla. Dado que \( D = -12 < 0 \), el punto \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\) es un \textbf{punto de silla}. 6. Observación de valores cercanos al punto: Aunque la verificación mediante las derivadas es suficiente, también se puede corroborar que la función cambia de concavidad en direcciones distintas cerca del punto crítico, lo que confirma que se trata de un punto de silla. La determinación se realiza, por lo tanto, calculando el gradiente y verificando que sea cero y utilizando la prueba de la segunda derivada para obtener que \( D < 0 \), lo cual indica que el punto \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\) es un punto de silla.

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Beyond the Answer

Para determinar la naturaleza de un punto crítico, como el que mencionas, una de las formas más efectivas es usando la segunda derivada. Deberás calcular las derivadas parciales segundas de la función \( T(x, y) \) para encontrar \( D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 \). Luego, evaluas D en el punto crítico: si D > 0 y \( f_{xx} > 0 \), el punto es un mínimo local; si D > 0 y \( f_{xx} < 0 \), es un máximo local; y si D < 0, entonces el punto es un punto de silla. Además de las derivadas segundas, observar el comportamiento de los valores de \( T(x, y) \) en los alrededores del punto crítico puede proporcionar información intuitiva. Al evaluar la función en puntos cercanos, puedes notar si los valores aumentan o disminuyen, lo cual puede indicar la naturaleza del punto crítico. Esta técnica es especialmente útil para tener un sentido visual o gráfico de cómo se comporta la función.

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