Caso 2: La función de temperatura \( T(x, y)=3 x^{2}-y^{2}+4 x \) tiene un punto critico en \( (x, y)=\left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) ¿Cómo se determina su naturaleza? Observando los valores cercanos al punto crítico Usando la segunda derivada para calcular el valor de D. Calculando el gradiente y evaluando si es cero.

Para determinar la naturaleza de un punto crítico, como el que mencionas, una de las formas más efectivas es usando la segunda derivada. Deberás calcular las derivadas parciales segundas de la función \( T(x, y) \) para encontrar \( D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 \). Luego, evaluas D en el punto crítico: si D > 0 y \( f_{xx} > 0 \), el punto es un mínimo local; si D > 0 y \( f_{xx} < 0 \), es un máximo local; y si D < 0, entonces el punto es un punto de silla. Además de las derivadas segundas, observar el comportamiento de los valores de \( T(x, y) \) en los alrededores del punto crítico puede proporcionar información intuitiva. Al evaluar la función en puntos cercanos, puedes notar si los valores aumentan o disminuyen, lo cual puede indicar la naturaleza del punto crítico. Esta técnica es especialmente útil para tener un sentido visual o gráfico de cómo se comporta la función.