Caso 2: La función de temperatura \( T(x, y)=3 x^{2}-y^{2}+4 x \) tiene un punto critico en \( (x, y)=\left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) ¿Cómo se determina su naturaleza? Observando los valores cercanos al punto crítico Usando la segunda derivada para calcular el valor de D. Calculando el gradiente y evaluando si es cero.

1. Definir la función: \[ T(x, y) = 3x^2 - y^2 + 4x \] 2. Calcular el gradiente para confirmar el punto crítico \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\): - Derivada parcial respecto a \( x \): \[ T_x = \frac{\partial T}{\partial x} = 6x + 4 \] - Derivada parcial respecto a \( y \): \[ T_y = \frac{\partial T}{\partial y} = -2y \] Evaluando en el punto: - Para \( x \): \[ T_x\left(-\frac{2}{3}, 0\right) = 6\left(-\frac{2}{3}\right) + 4 = -4 + 4 = 0 \] - Para \( y \): \[ T_y\left(-\frac{2}{3}, 0\right) = -2(0) = 0 \] El gradiente es nulo; por tanto, \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\) es un punto crítico. 3. Calcular las segundas derivadas para aplicar la prueba de la segunda derivada: - Segunda derivada respecto a \( x \): \[ T_{xx} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 6 \] - Segunda derivada respecto a \( y \): \[ T_{yy} = \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = -2 \] - Derivada mixta: \[ T_{xy} = \frac{\partial^2 T}{\partial x \partial y} = 0 \] 4. Calcular el discriminante \( D \): \[ D = T_{xx}T_{yy} - \left(T_{xy}\right)^2 = 6 \times (-2) - 0^2 = -12 \] 5. Determinar la naturaleza del punto crítico: - Si \( D > 0 \) y \( T_{xx} > 0 \) se tiene mínimo. - Si \( D > 0 \) y \( T_{xx} < 0 \) se tiene máximo. - Si \( D < 0 \), el punto crítico es un punto de silla. Dado que \( D = -12 < 0 \), el punto \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\) es un \textbf{punto de silla}. 6. Observación de valores cercanos al punto: Aunque la verificación mediante las derivadas es suficiente, también se puede corroborar que la función cambia de concavidad en direcciones distintas cerca del punto crítico, lo que confirma que se trata de un punto de silla. La determinación se realiza, por lo tanto, calculando el gradiente y verificando que sea cero y utilizando la prueba de la segunda derivada para obtener que \( D < 0 \), lo cual indica que el punto \(\left(-\frac{2}{3}, 0\right)\) es un punto de silla.