Caso 2: La función de temperatura \( T(x, y)=3 x^{2}-y^{2}+4 x \) tiene un punto crítico en \( (x, y)=\left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) ¿Cómo se determina su naturaleza?

Para determinar la naturaleza del punto crítico de la función de temperatura, se utiliza el método de la segunda derivada. Primero, necesitas calcular las segundas derivadas parciales de la función \( T \). Luego, calculas el determinante de la matriz Hessiana evaluada en el punto crítico \( \left(-\frac{2}{3}, 0\right) \). Si el determinante es positivo y la segunda derivada parcial respecto a \( x \) es positiva, el punto es un mínimo local. Si es negativo, el punto es un máximo local. Si el determinante es cero, el test es inconcluso. Al evaluar las segundas derivadas en el punto crítico y analizar el signo del determinante, podrás concluir si \( (x, y) = \left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) es un mínimo, un máximo o un punto de silla. ¡Diviértete calculando!