Dopo aver trovato l'equazione della parabola con l'asse parallelo all'asse \( y \), il vertice in \( V(1 ;-5) \) e passante per \( P(2 ;-6) \), calcola l'area del triangolo \( V P F \), dove \( F \) è il fuoco della parabola.

Per risolvere il problema, seguiamo i seguenti passi: ### 1. Trovare l'equazione della parabola Poiché l'asse della parabola è parallelo all'asse \( y \), l'equazione della parabola può essere scritta nella forma: \[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \] dove \( (h, k) \) è il vertice della parabola e \( p \) è la distanza dal vertice al fuoco. In questo caso, il vertice \( V \) è dato da \( (1, -5) \), quindi \( h = 1 \) e \( k = -5 \). L'equazione diventa: \[ (x - 1)^2 = 4p(y + 5) \] ### 2. Trovare il valore di \( p \) La parabola passa per il punto \( P(2, -6) \). Sostituiamo le coordinate di \( P \) nell'equazione per trovare \( p \): \[ (2 - 1)^2 = 4p(-6 + 5) \] Calcoliamo: \[ 1 = 4p(-1) \] \[ 1 = -4p \] \[ p = -\frac{1}{4} \] ### 3. Scrivere l'equazione finale della parabola Sostituendo il valore di \( p \) nell'equazione della parabola, otteniamo: \[ (x - 1)^2 = -\frac{1}{4}(y + 5) \] ### 4. Trovare il fuoco \( F \) Il fuoco \( F \) si trova a una distanza \( p \) dal vertice lungo l'asse della parabola. Poiché \( p = -\frac{1}{4} \), il fuoco sarà: \[ F = \left(1, -5 - \frac{1}{4}\right) = \left(1, -\frac{21}{4}\right) \] ### 5. Calcolare l'area del triangolo \( VPF \) I vertici del triangolo \( VPF \) sono: - \( V(1, -5) \) - \( P(2, -6) \) - \( F\left(1, -\frac{21}{4}\right) \) Utilizziamo la formula per calcolare l'area di un triangolo dato dai vertici \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \): \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Sostituiamo i valori: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(-6 + \frac{21}{4}) + 2\left(-\frac{21}{4} + 5\right) + 1(-5 + 6) \right| \] Calcoliamo i termini: 1. \( -6 + \frac{21}{4} = -\frac{24}{4} + \frac{21}{4} = -\frac{3}{4} \) 2. \( -\frac{21}{4} + 5 = -\frac{21}{4} + \frac{20}{4} = -\frac{1}{4} \) 3. \( -5 + 6 = 1 \) Ora sostituiamo: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\left(-\frac{1}{4}\right) + 1(1) \right| \] Calcoliamo: \[ = \frac{1}{2} \left| -\frac{3}{4} - \frac{2}{4} + 1 \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{5}{4} + \frac{4}{4} \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{1}{4} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \] ### Risultato finale L'area del triangolo \( VPF \) è: \[ \text{Area} = \frac{1}{8} \]