a) $$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} y e^{x y} d x d y=\frac{e^{2}-2}{2} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la integral doble $$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} y e^{x y} \, dx \, dy $$, procederemos paso a paso.

1. **Identificar la integral**: La integral se puede escribir como:
   $$
   I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} y e^{x y} \, dx \, dy
   $$

2. **Integrar respecto a $$ x $$**: Primero, integramos la función $$ y e^{x y} $$ con respecto a $$ x $$. La integral de $$ e^{x y} $$ es:
   $$
   \int e^{x y} \, dx = \frac{1}{y} e^{x y} + C
   $$
   Por lo tanto, evaluamos la integral:
   $$
   \int_{0}^{2} y e^{x y} \, dx = y \left[ \frac{1}{y} e^{x y} \right]_{0}^{2} = y \left( \frac{1}{y} e^{2y} - \frac{1}{y} e^{0} \right) = e^{2y} - 1
   $$

3. **Sustitución en la integral**: Ahora sustituimos el resultado en la integral respecto a $$ y $$:
   $$
   I = \int_{0}^{1} (e^{2y} - 1) \, dy
   $$

4. **Integrar respecto a $$ y $$**: Ahora integramos $$ e^{2y} - 1 $$:
   $$
   \int (e^{2y} - 1) \, dy = \frac{1}{2} e^{2y} - y + C
   $$
   Evaluamos esta integral de $$ 0 $$ a $$ 1 $$:
   $$
   I = \left[ \frac{1}{2} e^{2y} - y \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} e^{2} - 1 \right) - \left( \frac{1}{2} e^{0} - 0 \right) = \frac{1}{2} e^{2} - 1 - \frac{1}{2}
   $$
   Simplificando:
   $$
   I = \frac{1}{2} e^{2} - \frac{3}{2}
   $$

5. **Resultado final**: Por lo tanto, el resultado de la integral es:
   $$
   I = \frac{e^{2} - 2}{2}
   $$

Esto confirma que la solución es correcta.
La integral doble $$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} y e^{x y} \, dx \, dy $$ se evalúa como $$ \frac{e^{2} - 2}{2} $$.

a) \( \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} y e^{x y} d x d y=\frac{e^{2}-2}{2} \)

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