a) \( \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} y e^{x y} d x d y=\frac{e^{2}-2}{2} \)

Para resolver la integral doble \( \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} y e^{x y} \, dx \, dy \), procederemos paso a paso. 1. **Identificar la integral**: La integral se puede escribir como: \[ I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} y e^{x y} \, dx \, dy \] 2. **Integrar respecto a \( x \)**: Primero, integramos la función \( y e^{x y} \) con respecto a \( x \). La integral de \( e^{x y} \) es: \[ \int e^{x y} \, dx = \frac{1}{y} e^{x y} + C \] Por lo tanto, evaluamos la integral: \[ \int_{0}^{2} y e^{x y} \, dx = y \left[ \frac{1}{y} e^{x y} \right]_{0}^{2} = y \left( \frac{1}{y} e^{2y} - \frac{1}{y} e^{0} \right) = e^{2y} - 1 \] 3. **Sustitución en la integral**: Ahora sustituimos el resultado en la integral respecto a \( y \): \[ I = \int_{0}^{1} (e^{2y} - 1) \, dy \] 4. **Integrar respecto a \( y \)**: Ahora integramos \( e^{2y} - 1 \): \[ \int (e^{2y} - 1) \, dy = \frac{1}{2} e^{2y} - y + C \] Evaluamos esta integral de \( 0 \) a \( 1 \): \[ I = \left[ \frac{1}{2} e^{2y} - y \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} e^{2} - 1 \right) - \left( \frac{1}{2} e^{0} - 0 \right) = \frac{1}{2} e^{2} - 1 - \frac{1}{2} \] Simplificando: \[ I = \frac{1}{2} e^{2} - \frac{3}{2} \] 5. **Resultado final**: Por lo tanto, el resultado de la integral es: \[ I = \frac{e^{2} - 2}{2} \] Esto confirma que la solución es correcta.