10.9 Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \( (O ; \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k}) \), on considère la droite \( (d) \) dont on donne une représentation paramétrique, et le plan \( (\mathcal{P}) \) dont on domne une équation cartésienne : \( (d):\left\{\begin{array}{l}x=1-2 t \\ y=t \\ z=-5-4 t\end{array} \quad\right. \) où \( t \in \mathbb{R} \quad ; \quad(\mathcal{P}): 3 x+2 y-z-5=0 \) Montrer que la droite \( (d) \) est strictement parallèle au plan \( (\mathcal{P}) \). \( \quad \) (

Pour démontrer que la droite \( (d) \) est strictement parallèle au plan \( (\mathcal{P}) \), nous devons examiner le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan. Le vecteur directeur de la droite \( (d) \) peut être extrait de la représentation paramétrique, où les coefficients de \( t \) donnent le vecteur \( \vec{v} = (-2, 1, -4) \). D'autre part, l'équation du plan \( (\mathcal{P}) \) fournit un vecteur normal \( \vec{n} = (3, 2, -1) \). Pour que la droite soit parallèles au plan, le produit scalaire entre \( \vec{v} \) et \( \vec{n} \) doit être nul : \[ \vec{v} \cdot \vec{n} = -2 \times 3 + 1 \times 2 + (-4) \times (-1) = -6 + 2 + 4 = 0. \] Puisque le produit scalaire est égal à zéro, \( (d) \) est bien strictement parallèle au plan \( (\mathcal{P}) \).