10.9 Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $$ (O ; \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k}) $$, on considère la droite $$ (d) $$ dont on donne une représentation paramétrique, et le plan $$ (\mathcal{P}) $$ dont on domne une équation cartésienne : $$ (d):\left\{\begin{array}{l}x=1-2 t \ y=t \ z=-5-4 t\end{array} \quad ight. $$ où $$ t \in \mathbb{R} \quad ; \quad(\mathcal{P}): 3 x+2 y-z-5=0 $$ Montrer que la droite $$ (d) $$ est strictement parallèle au plan $$ (\mathcal{P}) $$. $$ \quad $$ (

Question

10.9 Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $$ (O ; \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k}) $$, on considère la droite $$ (d) $$ dont on donne une représentation paramétrique, et le plan $$ (\mathcal{P}) $$ dont on domne une équation cartésienne : $$ (d):\left\{\begin{array}{l}x=1-2 t \ y=t \ z=-5-4 t\end{array} \quadight. $$ où $$ t \in \mathbb{R} \quad ; \quad(\mathcal{P}): 3 x+2 y-z-5=0 $$ Montrer que la droite $$ (d) $$ est strictement parallèle au plan $$ (\mathcal{P}) $$. $$ \quad $$ (

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Soit la droite $$ (d) $$ de représentation paramétrique :
$$
\begin{cases}
x = 1 - 2t,\[6pt]
y = t,\[6pt]
z = -5 - 4t,
\end{cases}
$$
ce qui permet d'identifier un vecteur directeur de $$(d)$$ par :
$$
\vec{v} = (-2,\, 1,\, -4).
$$

Le plan $$(\mathcal{P})$$ est défini par l’équation cartésienne :
$$
3x + 2y - z - 5 = 0.
$$
Un vecteur normal à ce plan est donc :
$$
\vec{n} = (3,\, 2,\, -1).
$$

Pour montrer que la droite $$ (d) $$ est strictement parallèle au plan $$(\mathcal{P})$$, il faut vérifier que le vecteur directeur $$\vec{v}$$ est orthogonal au vecteur normal $$\vec{n}$$. Calculons le produit scalaire :
$$
\vec{v} \cdot \vec{n} = (-2)(3) + (1)(2) + (-4)(-1) = -6 + 2 + 4 = 0.
$$

Puisque $$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$$, le vecteur directeur $$\vec{v}$$ est orthogonal à $$\vec{n}$$ et donc la droite $$ (d) $$ est parallèle au plan $$(\mathcal{P})$$.

Pour montrer qu'elle est strictement parallèle (c'est-à-dire qu'elle n'est pas contenue dans le plan), il suffit de vérifier qu'un point appartenant à $$ (d) $$ n'appartient pas à $$(\mathcal{P})$$. Prenons $$ t = 0 $$ :
$$
M(1,\, 0,\, -5).
$$

Vérifions si $$ M $$ satisfait l'équation du plan :
$$
3(1) + 2(0) - (-5) - 5 = 3 + 0 + 5 - 5 = 3 \neq 0.
$$

Ainsi, $$ M \notin (\mathcal{P}) $$ et la droite ne rencontre pas le plan.

Conclusion : La droite $$ (d) $$ est strictement parallèle au plan $$(\mathcal{P})$$.
La droite $$ (d) $$ est strictement parallèle au plan $$ (\mathcal{P}) $$ car son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan, et un point de la droite ne appartient pas au plan.

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