Eercicio 1. Encuentra la ecuación de la recta secante que pasa por la curva $$ y=x^{2}-x $$ La ecuación de la recta: solucioin:

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**Ejercicio 1.**  
Encuentra la ecuación de la recta secante que pasa por la curva $$ y = x^{2} - x $$.

**Solución:**

Para encontrar la ecuación de una recta secante que corta a la curva $$ y = x^{2} - x $$ en dos puntos distintos, seguiremos los siguientes pasos:

1. **Seleccionar dos puntos en la curva:**

Supongamos que queremos encontrar la recta secante que pasa por los puntos correspondientes a $$ x = a $$ y $$ x = b $$, donde $$ a \neq b $$.

Los puntos de intersección serán:
   $$
   P(a,\ y(a)) = (a, a^{2} - a)
   $$
   $$
   Q(b,\ y(b)) = (b, b^{2} - b)
   $$

2. **Calcular la pendiente de la recta secante:**

La pendiente $$ m $$ de la recta que pasa por dos puntos $$ P(a, y(a)) $$ y $$ Q(b, y(b)) $$ se calcula mediante:
   $$
   m = \frac{y(b) - y(a)}{b - a} = \frac{(b^{2} - b) - (a^{2} - a)}{b - a}
   $$
   Simplificando:
   $$
   m = \frac{b^{2} - b - a^{2} + a}{b - a} = \frac{(b^{2} - a^{2}) + (a - b)}{b - a} = \frac{(b - a)(b + a) - (b - a)}{b - a}
   $$
   $$
   m = b + a - 1
   $$

3. **Formar la ecuación de la recta secante:**

Usando la fórmula punto-pendiente de la recta, tomamos el punto $$ P(a, a^{2} - a) $$ y la pendiente $$ m = a + b - 1 $$:
   $$
   y - y(a) = m (x - a)
   $$
   Sustituyendo los valores:
   $$
   y - (a^{2} - a) = (a + b - 1)(x - a)
   $$
   Expandimos y simplificamos:
   $$
   y = (a + b - 1)x - (a + b - 1)a + a^{2} - a
   $$
   $$
   y = (a + b - 1)x - a(a + b - 1) + a^{2} - a
   $$
   $$
   y = (a + b - 1)x - a^{2} - a b + a + a^{2} - a
   $$
   $$
   y = (a + b - 1)x - a b
   $$

**Resultado Final:**

La ecuación de la recta secante que pasa por los puntos $$ P(a, a^{2} - a) $$ y $$ Q(b, b^{2} - b) $$ de la curva $$ y = x^{2} - x $$ es:
$$
y = (a + b - 1)x - a b
$$

**Ejemplo Numérico:**

Supongamos que tomamos $$ a = 1 $$ y $$ b = 2 $$.

1. **Puntos de intersección:**
   $$
   P(1, 1^{2} - 1) = (1, 0)
   $$
   $$
   Q(2, 2^{2} - 2) = (2, 2)
   $$

2. **Pendiente de la secante:**
   $$
   m = 1 + 2 - 1 = 2
   $$

3. **Ecuación de la recta secante:**
   $$
   y - 0 = 2(x - 1)
   $$
   $$
   y = 2x - 2
   $$

Por lo tanto, la recta secante que pasa por los puntos $$ (1, 0) $$ y $$ (2, 2) $$ es:
$$
y = 2x - 2
$$
La ecuación de la recta secante que pasa por la curva $$ y = x^{2} - x $$ es $$ y = (a + b - 1)x - a b $$, donde $$ a $$ y $$ b $$ son los valores de $$ x $$ de los dos puntos de intersección.

Eercicio 1. Encuentra la ecuación de la recta secante que pasa por la curva \( y=x^{2}-x \) La ecuación de la recta: solucioin:

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