$$ \int _ { 1 } \frac { \sqrt { \frac { \sqrt { x - 1 } } { 1 } } + e ^ { \sin x h x } } { an ^ { - 1 } ( 1 - 9000 ^ { x } ) } d x $$

Question

$$ \int _ { 1 } \frac { \sqrt { \frac { \sqrt { x - 1 } } { 1 } } + e ^ { \sin x h x } } { 	an ^ { - 1 } ( 1 - 9000 ^ { x } ) } d x $$

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1. Primeiramente, observe que o numerador contém a expressão
$$
\sqrt{\frac{\sqrt{x-1}}{1}}=\sqrt{\sqrt{x-1}}=(x-1)^{\frac{1}{4}},
$$
de forma que a integral pode ser reescrita (considerando que o termo $$e^{\sin x\, h\,x}$$ dependa de uma constante $$h$$ ou seja interpretado conforme o contexto) como
$$
\int \frac{(x-1)^{\frac{1}{4}}+e^{\sin x\, h\,x}}{\tan^{-1}(1-9000^x)}\,dx.
$$

2. Em seguida, constatamos que o integrando é a soma de dois termos:
$$
\frac{(x-1)^{\frac{1}{4}}}{\tan^{-1}(1-9000^x)} \quad \text{e} \quad \frac{e^{\sin x\, h\,x}}{\tan^{-1}(1-9000^x)},
$$
ou seja,
$$
\int \frac{(x-1)^{\frac{1}{4}}}{\tan^{-1}(1-9000^x)}\,dx + \int \frac{e^{\sin x\, h\,x}}{\tan^{-1}(1-9000^x)}\,dx.
$$

3. Ao analisar cada um dos termos, percebemos que:
   - O fator $$\tan^{-1}(1-9000^x)$$ no denominador complica fortemente o integrando, especialmente devido à presença de $$9000^x$$ que cresce muito rapidamente com $$x$$.
   - Os numeradores $$(x-1)^{\frac{1}{4}}$$ e $$e^{\sin x\, h\,x}$$ também não levam o integrando a uma forma que possa ser facilmente manipulada por métodos elementares de integração (como substituição, partes ou frações parciais).

4. Essas características sugerem que a integral definida não possui uma antiderivada que possa ser expressa em termos de funções elementares conhecidas.

5. Portanto, a conclusão é que:
$$
\textbf{Não existe uma primitiva elementar para a integral dada.}
$$

Obs.: Caso haja alguma ambiguidade na interpretação de $$e^{\sin x\, h\,x}$$ (por exemplo, se $$h$$ for uma função ou uma constante), seria necessário um contexto adicional para elaborar uma possível abordagem, mas mesmo assim a presença dos termos combinados indica que a integral não se resolve por técnicas elementares conhecidas.
A integral dada não pode ser resolvida usando funções elementares conhecidas.

\( \int _ { 1 } \frac { \sqrt { \frac { \sqrt { x - 1 } } { 1 } } + e ^ { \sin x h x } } { \tan ^ { - 1 } ( 1 - 9000 ^ { x } ) } d x \)

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