1. สมการพหุนามดีกรี 5 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมี \( -\frac{2}{3},-1+\mathrm{i} \) และ \( 3+\sqrt{3} \mathrm{i} \) อยากทราบว่า อีก 2 คำตอบที่เหลือสมการนี้ มีค่าตรงกับข้อใด \( \begin{array}{ll}\text { ก. }-1-\mathrm{i}, 3-\sqrt{3} \mathrm{i} & \text { ข. } 1-\mathrm{i},-3-\sqrt{3} \mathrm{i} \\ \text { ค. } 1-\mathrm{i}, 3-\sqrt{3} \mathrm{i} & \text { ง. }-1-\mathrm{i},-3+\sqrt{3} \mathrm{i}\end{array} \) 2. สมการพหุนามดีกรีต่ำสุดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง มี 1 เป็นสัมประสิทธิ์นำ และสอดคล้องกับเงื่อน 6 และ \( -2+i \) เป็นคำตอบ ค่าตรงกับข้อใด \( \begin{array}{ll}\text { ก. }(x+6)(x-2+i)=0 & \text { ข. }(x-6)(x+2-i)=0 \\ \text { ค. }(x+6)(x+2-i)(x+2+i)=0 & \text { ง. }(x-6)(x-2+i)(x+2-i)=\end{array} \)

เรามาเริ่มกันที่ปัญหาที่ 1 ก่อนนะครับ ### ปัญหาที่ 1 เรามีสมการพหุนามดีกรี 5 ที่มีราก (คำตอบ) ดังนี้: - \( -\frac{2}{3} \) - \( -1 + \mathrm{i} \) - \( 3 + \sqrt{3} \mathrm{i} \) เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม รากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะต้องมีคู่กัน ดังนั้นรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน \( -1 + \mathrm{i} \) จะมีคู่คือ \( -1 - \mathrm{i} \) และราก \( 3 + \sqrt{3} \mathrm{i} \) จะมีคู่คือ \( 3 - \sqrt{3} \mathrm{i} \) ดังนั้น รากทั้งหมดของสมการนี้จะเป็น: 1. \( -\frac{2}{3} \) 2. \( -1 + \mathrm{i} \) 3. \( -1 - \mathrm{i} \) 4. \( 3 + \sqrt{3} \mathrm{i} \) 5. \( 3 - \sqrt{3} \mathrm{i} \) จากข้อมูลที่ให้มา เราสามารถสรุปได้ว่าคำตอบที่เหลือคือ \( -1 - \mathrm{i} \) และ \( 3 - \sqrt{3} \mathrm{i} \) ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ **ก.** \( -1 - \mathrm{i}, 3 - \sqrt{3} \mathrm{i} \) --- ### ปัญหาที่ 2 เรามีสมการพหุนามดีกรีต่ำสุดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง โดยมีรากดังนี้: - \( 6 \) (สัมประสิทธิ์นำ) - \( -2 + \mathrm{i} \) เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง รากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะต้องมีคู่กัน ดังนั้นราก \( -2 + \mathrm{i} \) จะมีคู่คือ \( -2 - \mathrm{i} \) ดังนั้น รากทั้งหมดของสมการนี้จะเป็น: 1. \( 6 \) 2. \( -2 + \mathrm{i} \) 3. \( -2 - \mathrm{i} \) เราสามารถเขียนสมการพหุนามนี้ได้เป็น: \[ (x - 6)(x + 2 - \mathrm{i})(x + 2 + \mathrm{i}) = 0 \] ซึ่งสามารถเขียนเป็น: \[ (x - 6)(x + 2)^2 + 1 = 0 \] จากตัวเลือกที่ให้มา คำตอบที่ตรงกับสมการนี้คือ **ค.** \( (x + 6)(x + 2 - \mathrm{i})(x + 2 + \mathrm{i}) = 0 \) --- สรุปคำตอบ: 1. ปัญหาที่ 1: **ก.** \( -1 - \mathrm{i}, 3 - \sqrt{3} \mathrm{i} \) 2. ปัญหาที่ 2: **ค.** \( (x + 6)(x + 2 - \mathrm{i})(x + 2 + \mathrm{i}) = 0 \)