Uno de los ángulos formados por dos rectas paralelas corta- das por una secante tiene $$ 43^{\circ} $$, ¿cuánto miden los demás? En las paralelas cortadas por la secante, si $$ \angle $$ es la mitad de $$ \angle $$ d, calcula el valor de los ocho ángulos formados. ¿Es posible que el $$ \angle c $$ mida $$ 61^{\circ} $$ y sea la mitad del $$ \angle f $$ ? ¿Por qué? ¿son paralelas las rectas $$ M N $$ y PQ? ¿Por qué?

Question

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Para resolver el problema, primero identificamos los ángulos formados por las dos rectas paralelas cortadas por una secante. Denotemos los ángulos como sigue:

- $$ \angle a $$ = $$ 43^{\circ} $$ (ángulo dado)
- $$ \angle b $$ (ángulo adyacente a $$ \angle a $$)
- $$ \angle c $$ (ángulo alterno a $$ \angle a $$)
- $$ \angle d $$ (ángulo opuesto a $$ \angle b $$)
- $$ \angle e $$ (ángulo adyacente a $$ \angle c $$)
- $$ \angle f $$ (ángulo alterno a $$ \angle c $$)
- $$ \angle g $$ (ángulo opuesto a $$ \angle e $$)
- $$ \angle h $$ (ángulo opuesto a $$ \angle f $$)

### Paso 1: Calcular los ángulos

1. **Ángulo adyacente $$ \angle b $$**:
   $$
   \angle b = 180^{\circ} - \angle a = 180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ}
   $$

2. **Ángulo alterno $$ \angle c $$**:
   $$
   \angle c = \angle a = 43^{\circ}
   $$

3. **Ángulo opuesto $$ \angle d $$**:
   $$
   \angle d = \angle b = 137^{\circ}
   $$

4. **Ángulo adyacente $$ \angle e $$**:
   $$
   \angle e = 180^{\circ} - \angle c = 180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ}
   $$

5. **Ángulo alterno $$ \angle f $$**:
   $$
   \angle f = \angle d = 137^{\circ}
   $$

6. **Ángulo opuesto $$ \angle g $$**:
   $$
   \angle g = \angle e = 137^{\circ}
   $$

7. **Ángulo opuesto $$ \angle h $$**:
   $$
   \angle h = \angle f = 137^{\circ}
   $$

### Resumen de los ángulos

- $$ \angle a = 43^{\circ} $$
- $$ \angle b = 137^{\circ} $$
- $$ \angle c = 43^{\circ} $$
- $$ \angle d = 137^{\circ} $$
- $$ \angle e = 137^{\circ} $$
- $$ \angle f = 137^{\circ} $$
- $$ \angle g = 137^{\circ} $$
- $$ \angle h = 137^{\circ} $$

### Paso 2: Verificar la relación entre $$ \angle c $$ y $$ \angle f $$

Se nos pregunta si es posible que $$ \angle c $$ mida $$ 61^{\circ} $$ y sea la mitad de $$ \angle f $$. Si $$ \angle c = 61^{\circ} $$, entonces:

$$
\angle f = 2 \cdot \angle c = 2 \cdot 61^{\circ} = 122^{\circ}
$$

Esto no es consistente con los valores que hemos calculado, ya que $$ \angle f $$ debería ser $$ 137^{\circ} $$. Por lo tanto, no es posible que $$ \angle c $$ mida $$ 61^{\circ} $$ y sea la mitad de $$ \angle f $$.

### Paso 3: Determinar si las rectas $$ M N $$ y $$ P Q $$ son paralelas

Las rectas $$ M N $$ y $$ P Q $$ son paralelas si los ángulos alternos son iguales. En este caso, $$ \angle a $$ y $$ \angle c $$ son iguales, lo que indica que las rectas son paralelas.

### Conclusión

1. Los ángulos formados son:
   - $$ \angle a = 43^{\circ} $$
   - $$ \angle b = 137^{\circ} $$
   - $$ \angle c = 43^{\circ} $$
   - $$ \angle d = 137^{\circ} $$
   - $$ \angle e = 137^{\circ} $$
   - $$ \angle f = 137^{\circ} $$
   - $$ \angle g = 137^{\circ} $$
   - $$ \angle h = 137^{\circ} $$

2. No es posible que $$ \angle c $$ mida $$ 61^{\circ} $$ y sea la mitad de $$ \angle f $$.

3. Las rectas $$ M N $$ y $$ P Q $$ son paralelas porque los ángulos alternos son iguales.
Los ángulos son: - $$ \angle a = 43^{\circ} $$ - $$ \angle b = 137^{\circ} $$ - $$ \angle c = 43^{\circ} $$ - $$ \angle d = 137^{\circ} $$ - $$ \angle e = 137^{\circ} $$ - $$ \angle f = 137^{\circ} $$ - $$ \angle g = 137^{\circ} $$ - $$ \angle h = 137^{\circ} $$ No es posible que $$ \angle c $$ mida $$ 61^{\circ} $$ y sea la mitad de $$ \angle f $$ porque $$ \angle f $$ debe ser $$ 137^{\circ} $$, no $$ 122^{\circ} $$. Las rectas $$ M N $$ y $$ P Q $$ son paralelas porque los ángulos alternos son iguales.

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