11.2.6 Tableau de signes d'un produit de fonctions af- fines Pour le cours, voir 11.1.6. Défi 27 1. Résoudre $$ (x-2)(x+3)0 $$ 2. Résoudre $$ (5-x)(x+7) \geq 0 $$ Pour la solution, voir la solution 21 .

Question

11.2.6 Tableau de signes d'un produit de fonctions af- fines Pour le cours, voir 11.1.6. Défi 27 1. Résoudre $$ (x-2)(x+3)>0 $$ 2. Résoudre $$ (5-x)(x+7) \geq 0 $$ Pour la solution, voir la solution 21 .

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1. Pour résoudre $$ (x-2)(x+3)>0 $$, nous analysons le signe du produit. - **Détermination des racines** Les facteurs s'annulent pour : $$ x-2=0 \quad \Longrightarrow \quad x=2, $$ $$ x+3=0 \quad \Longrightarrow \quad x=-3. $$ - **Étude des intervalles** Le nombre $$ x $$ varie selon les intervalles définis par les racines : - Pour $$ x<-3 $$ : $$ x-2<0 \quad \text{et} \quad x+3<0 \quad \Longrightarrow \quad (x-2)(x+3)>0. $$ - Pour $$ -30 \quad \Longrightarrow \quad (x-2)(x+3)<0. \] - Pour $$ x>2 $$ : $$ x-2>0 \quad \text{et} \quad x+3>0 \quad \Longrightarrow \quad (x-2)(x+3)>0. $$ - **Conclusion** La solution de $$ (x-2)(x+3)>0 $$ est : $$ x<-3 \quad \text{ou} \quad x>2. $$ 2. Pour résoudre $$ (5-x)(x+7) \geq 0 $$, nous procédons de manière similaire. - **Détermination des racines** Les facteurs s'annulent pour : $$ 5-x=0 \quad \Longrightarrow \quad x=5, $$ $$ x+7=0 \quad \Longrightarrow \quad x=-7. $$ - **Étude des intervalles** On considère les intervalles définis par $$ x=-7 $$ et $$ x=5 $$ : - Pour $$ x<-7 $$ (par exemple, $$ x=-8 $$) : $$ 5-(-8)=13>0,\quad -8+7=-1<0 \quad \Longrightarrow \quad (5-x)(x+7)<0. $$ - Pour $$ -70,\quad 0+7=7>0 \quad \Longrightarrow \quad (5-x)(x+7)>0. \] - Pour $$ x>5 $$ (par exemple, $$ x=6 $$) : $$ 5-6=-1<0,\quad 6+7=13>0 \quad \Longrightarrow \quad (5-x)(x+7)<0. $$ - **Vérification des bornes** Les égalités se produisent pour $$ x=-7 $$ et $$ x=5 $$ car alors l'un des facteurs s'annule. Comme l'inégalité est $$\geq 0$$, ces valeurs sont incluses dans la solution. - **Conclusion** La solution de $$ (5-x)(x+7) \geq 0 $$ est : $$ -7 \leq x \leq 5. $$ 1. Pour $$ (x-2)(x+3)>0 $$, la solution est $$ x<-3 $$ ou $$ x>2 $$. 2. Pour $$ (5-x)(x+7) \geq 0 $$, la solution est $$ -7 \leq x \leq 5 $$.

11.2.6 Tableau de signes d'un produit de fonctions af- fines Pour le cours, voir 11.1.6. Défi 27 1. Résoudre \( (x-2)(x+3)>0 \) 2. Résoudre \( (5-x)(x+7) \geq 0 \) Pour la solution, voir la solution 21 .

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