2) $$ \log _{3}(5-x)+\log _{3}(-1-x)=(3) ; \log _{3} 3 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Дано уравнение:

$$
\log_{3}(5-x) + \log_{3}(-1-x) = 3
$$

Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:

$$
\log_{3}((5-x)(-1-x)) = 3
$$

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны уравнения в степень 3:

$$
(5-x)(-1-x) = 3^3
$$

Это упрощается до:

$$
(5-x)(-1-x) = 27
$$

Теперь раскроем скобки:

$$
-5 - 5x + x + x^2 = 27
$$

Упрощаем уравнение:

$$
x^2 - 4x - 5 = 27
$$

Переносим 27 в левую часть:

$$
x^2 - 4x - 32 = 0
$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

где $$ a = 1, b = -4, c = -32 $$. Подставим значения:

$$
x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32)}}{2 \cdot 1}
$$

Теперь вычислим дискриминант:

$$
D = 16 + 128 = 144
$$

Теперь подставим дискриминант в формулу:

$$
x = \frac{4 \pm 12}{2}
$$

Это дает два решения:

1. $$ x = \frac{16}{2} = 8 $$
2. $$ x = \frac{-8}{2} = -4 $$

Теперь проверим, подходят ли эти значения для исходного уравнения, учитывая ограничения логарифмов:

1. Для $$ x = 8 $$:
   - $$ 5 - 8 = -3 $$ (недопустимо, так как логарифм от отрицательного числа не определен)
   - $$ -1 - 8 = -9 $$ (недопустимо)

2. Для $$ x = -4 $$:
   - $$ 5 - (-4) = 9 $$ (допустимо)
   - $$ -1 - (-4) = 3 $$ (допустимо)

Таким образом, единственное допустимое решение:

$$
x = -4
$$

Ответ: $$ x = -4 $$
$$ x = -4 $$

2) \( \log _{3}(5-x)+\log _{3}(-1-x)=(3) ; \log _{3} 3 \)