Los ángulos interiores de un octágono miden $$ 135^{\circ} $$ cada uno. Determina: a) El número de lados. b) El número de diagonales.

Question

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Para resolver el problema, primero recordemos algunas propiedades de los polígonos.

### a) Número de lados

La fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono de $$ n $$ lados es:

$$
S = (n - 2) \cdot 180
$$

Dado que se nos dice que cada ángulo interior mide $$ 135^{\circ} $$ y hay $$ n $$ ángulos, la suma de los ángulos interiores también se puede expresar como:

$$
S = n \cdot 135
$$

Igualando ambas expresiones para $$ S $$:

$$
(n - 2) \cdot 180 = n \cdot 135
$$

Ahora, resolveremos esta ecuación para encontrar $$ n $$.

### b) Número de diagonales

La fórmula para calcular el número de diagonales $$ D $$ en un polígono de $$ n $$ lados es:

$$
D = \frac{n(n - 3)}{2}
$$

Primero, resolveremos la ecuación para $$ n $$ y luego utilizaremos el valor de $$ n $$ para calcular el número de diagonales.

Voy a resolver la ecuación para $$ n $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$n$$:
  $$\left(n-2\right)\times 180=n\times 135$$
- step1: Multiply the terms:
  $$180\left(n-2\right)=135n$$
- step2: Expand the expression:
  $$180n-360=135n$$
- step3: Move the variable to the left side:
  $$180n-360-135n=0$$
- step4: Subtract the terms:
  $$45n-360=0$$
- step5: Move the constant to the right side:
  $$45n=0+360$$
- step6: Remove 0:
  $$45n=360$$
- step7: Divide both sides:
  $$\frac{45n}{45}=\frac{360}{45}$$
- step8: Divide the numbers:
  $$n=8$$
Solve the equation $$ D = n(n - 3)/2 $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$D$$:
  $$D=\frac{n\left(n-3\right)}{2}$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$D=\frac{n^{2}-3n}{2}$$
Solve the equation $$ D = 8(8 - 3)/2 $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$D$$:
  $$D=\frac{8\left(8-3\right)}{2}$$
- step1: Simplify:
  $$D=20$$
### Solución

#### a) Número de lados

Al resolver la ecuación, encontramos que el número de lados $$ n $$ del octágono es:

$$
n = 8
$$

#### b) Número de diagonales

Utilizando la fórmula para el número de diagonales $$ D $$:

$$
D = \frac{n(n - 3)}{2}
$$

Sustituyendo $$ n = 8 $$:

$$
D = \frac{8(8 - 3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20
$$

### Resumen

- El número de lados del octágono es $$ 8 $$.
- El número de diagonales es $$ 20 $$.
a) El octágono tiene 8 lados. b) El octágono tiene 20 diagonales.

Los ángulos interiores de un octágono miden \( 135^{\circ} \) cada uno. Determina: a) El número de lados. b) El número de diagonales.

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