Grafique la solución obtenida.
¿cuál es el comportamiento de la solución cuando tiende a infinito? ¿este
comportamiento depende de la condición inicial elegida?

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Grafique la solución obtenida. ¿cuál es el comportamiento de la solución cuando $$ t $$ tiende a infinito? ¿este comportamiento depende de la condición inicial elegida?

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Suponiendo que la solución obtenida de la ecuación diferencial sea de la forma $$ y(t)=y_0\,e^{\lambda t}, $$ donde $$y_0$$ es el valor inicial y $$\lambda$$ es un parámetro real que aparece al resolver la ecuación, procederemos a analizar el comportamiento de $$y(t)$$ y a graficarlo de forma esquemática. --- **1. Gráfica de la solución** La función $$ y(t)=y_0\,e^{\lambda t} $$ tiene la forma clásica de una exponencial. Podemos esbozar la gráfica de la siguiente manera: - En el eje horizontal se representa la variable $$t$$ (el tiempo). - En el eje vertical se representa $$y(t)$$. Dependiendo del signo de $$\lambda$$ y del valor de $$y_0$$, la gráfica presentará distintos comportamientos: - Si $$\lambda>0$$: - Si $$y_0>0$$: la función crece exponencialmente, pasando por el punto $$(0,y_0)$$ y aumentando sin límite a medida que $$t$$ aumenta. - Si $$y_0<0$$: la función decrece (en valor absoluto, pero se vuelve más negativa) y tiende a $$-\infty$$ conforme $$t$$ aumenta. - Si $$\lambda=0$$: - La solución se reduce a la función constante $$y(t)=y_0$$; la gráfica es una línea horizontal en el valor $$y_0$$. - Si $$\lambda<0$$: - Independientemente de si $$y_0$$ es positivo o negativo (exceptuando el caso trivial $$y_0=0$$), la función decae exponencialmente hacia $$0$$ conforme $$t$$ tiende a infinito. La gráfica parte en $$(0,y_0)$$ y se aproxima asintóticamente al eje $$t$$ (la línea $$y=0$$). Un esquema de estas situaciones podría representarse de la siguiente manera: ``` y ↑ │ / (para λ > 0 y y₀ > 0) │ / │ / y₀ ●-----●------→ t (para λ = 0, línea horizontal) │ / │ / (para λ < 0, todo se acerca a y = 0) │ / │ / ●────────────────→ t ``` *Nota:* Este es solo un esquema ilustrativo; en una gráfica real se verán curvas suaves exponenciales, con la dirección y el sentido determinados por $$y_0$$ y $$\lambda$$. --- **2. Comportamiento asintótico cuando $$t$$ tiende a infinito** Analicemos el límite de $$y(t)$$ cuando $$t \to \infty$$ en función de $$\lambda$$: - Si $$\lambda>0$$: $$ \lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{t\to\infty}y_0\,e^{\lambda t}=\begin{cases} +\infty & \text{si } y_0>0,\[1mm] -\infty & \text{si } y_0<0. \end{cases} $$ - Si $$\lambda=0$$: $$ y(t)=y_0\quad\text{para todo } t, \quad\text{por lo que } \lim_{t\to\infty}y(t)=y_0. $$ - Si $$\lambda<0$$: $$ \lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{t\to\infty}y_0\,e^{\lambda t}=0. $$ --- **3. Dependencia del comportamiento respecto a la condición inicial $$y_0$$** Observamos lo siguiente: - **Tasa de crecimiento o decaimiento:** El término $$e^{\lambda t}$$ es el que realmente determina cómo varía la solución conforme $$t$$ aumenta. El parámetro $$\lambda$$ determina la rapidez del crecimiento o decaimiento, y este comportamiento es independiente de la condición inicial $$y_0$$. - **Escala de la solución:** El valor $$y_0$$ (la condición inicial) sólo afecta la altura o escala de la solución en $$t=0$$ y, por tanto, escala verticalmente la función. Es decir, si $$y_0$$ se modifica, la forma de la curva sigue siendo exponencial con la misma tasa, pero su posición vertical cambia. En consecuencia, el comportamiento asintótico (ya sea divergente, constante o convergente a $$0$$) depende exclusivamente del signo de $$\lambda$$, mientras que la condición inicial $$y_0$$ sólo afecta el valor numérico de la solución, pero no cambia la naturaleza del crecimiento o decaimiento. --- **Conclusión** - La gráfica de la solución $$y(t)=y_0\,e^{\lambda t}$$ muestra una curva exponencial cuyo comportamiento depende de $$\lambda$$ y que pasa por el punto $$(0,y_0)$$. - Cuando $$t$$ tiende a infinito: - Para $$\lambda>0$$, $$y(t)$$ crece ilimitadamente (tiende a $$+\infty$$ o $$-\infty$$ según el signo de $$y_0$$). - Para $$\lambda=0$$, $$y(t)=y_0$$ es constante. - Para $$\lambda<0$$, $$y(t)$$ tiende a $$0$$. - Este comportamiento asintótico depende únicamente de $$\lambda$$ y no de la condición inicial, que únicamente escala la solución. La solución es una curva exponencial que depende de la tasa $$\lambda$$. Si $$\lambda > 0$$, la solución crece sin límite; si $$\lambda = 0$$, es constante; y si $$\lambda < 0$$, tiende a 0 cuando $$t$$ aumenta. La condición inicial $$y_0$$ solo cambia la escala de la solución, no su comportamiento asintótico.

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