1. Решите уравнение: $$ \begin{array}{ll} ext { a) } \frac{3 x+4}{x^{2}-16}=\frac{x^{2}}{x^{2}-16} ; & ext { б) } \frac{3}{x-5}+\frac{8}{x}=2 \end{array} $$

Question

1. Решите уравнение: $$ \begin{array}{ll}	ext { a) } \frac{3 x+4}{x^{2}-16}=\frac{x^{2}}{x^{2}-16} ; & 	ext { б) } \frac{3}{x-5}+\frac{8}{x}=2 \end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$\frac{3x+4}{x^{2}-16}=\frac{x^{2}}{x^{2}-16}$$
- step1: Find the domain:
  $$\frac{3x+4}{x^{2}-16}=\frac{x^{2}}{x^{2}-16},x \in \left(-\infty,-4\right)\cup \left(-4,4\right)\cup \left(4,+\infty\right)$$
- step2: Cross multiply:
  $$\left(3x+4\right)\left(x^{2}-16\right)=\left(x^{2}-16\right)x^{2}$$
- step3: Simplify the equation:
  $$\left(3x+4\right)\left(x^{2}-16\right)=x^{2}\left(x^{2}-16\right)$$
- step4: Calculate:
  $$3x^{3}-48x+4x^{2}-64=x^{2}\left(x^{2}-16\right)$$
- step5: Calculate:
  $$3x^{3}-48x+4x^{2}-64=x^{4}-16x^{2}$$
- step6: Move the expression to the left side:
  $$3x^{3}-48x+4x^{2}-64-\left(x^{4}-16x^{2}\right)=0$$
- step7: Calculate:
  $$3x^{3}-48x+20x^{2}-64-x^{4}=0$$
- step8: Factor the expression:
  $$\left(4-x\right)^{2}\left(-1-x\right)\left(4+x\right)=0$$
- step9: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&\left(4-x\right)^{2}=0\&-1-x=0\&4+x=0\end{align}$$
- step10: Solve the equation:
  $$\begin{align}&x=4\&x=-1\&x=-4\end{align}$$
- step11: Check if the solution is in the defined range:
  $$\begin{align}&x=4\&x=-1\&x=-4\end{align},x \in \left(-\infty,-4\right)\cup \left(-4,4\right)\cup \left(4,+\infty\right)$$
- step12: Find the intersection:
  $$x=-1$$
Solve the equation $$ \frac{3}{x-5}+\frac{8}{x}=2 $$.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$\frac{3}{x-5}+\frac{8}{x}=2$$
- step1: Find the domain:
  $$\frac{3}{x-5}+\frac{8}{x}=2,x \in \left(-\infty,0\right)\cup \left(0,5\right)\cup \left(5,+\infty\right)$$
- step2: Multiply both sides of the equation by LCD:
  $$\left(\frac{3}{x-5}+\frac{8}{x}\right)x\left(x-5\right)=2x\left(x-5\right)$$
- step3: Simplify the equation:
  $$11x-40=2x^{2}-10x$$
- step4: Move the expression to the left side:
  $$11x-40-\left(2x^{2}-10x\right)=0$$
- step5: Subtract the terms:
  $$21x-40-2x^{2}=0$$
- step6: Factor the expression:
  $$\left(-8+x\right)\left(5-2x\right)=0$$
- step7: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&-8+x=0\&5-2x=0\end{align}$$
- step8: Solve the equation:
  $$\begin{align}&x=8\&x=\frac{5}{2}\end{align}$$
- step9: Check if the solution is in the defined range:
  $$\begin{align}&x=8\&x=\frac{5}{2}\end{align},x \in \left(-\infty,0\right)\cup \left(0,5\right)\cup \left(5,+\infty\right)$$
- step10: Find the intersection:
  $$\begin{align}&x=8\&x=\frac{5}{2}\end{align}$$
- step11: Rewrite:
  $$x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=8$$
Решим уравнения по очереди.

### a) Уравнение:
$$
\frac{3x+4}{x^{2}-16}=\frac{x^{2}}{x^{2}-16}
$$

1. Умножим обе стороны уравнения на $$x^{2}-16$$ (при условии, что $$x^{2}-16 \neq 0$$):
$$
3x + 4 = x^{2}
$$

2. Переносим все члены в одну сторону:
$$
x^{2} - 3x - 4 = 0
$$

3. Решим квадратное уравнение. Используя формулу корней:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
где $$a = 1$$, $$b = -3$$, $$c = -4$$.

4. Подставим значения:
$$
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}
$$

5. Получаем два корня:
$$
x_{1} = \frac{8}{2} = 4, \quad x_{2} = \frac{-2}{2} = -1
$$

6. Проверяем, что $$x^{2}-16 \neq 0$$ для $$x = 4$$ и $$x = -1$$ (оба значения допустимы).

**Ответ для a)**: $$x = -1$$ (также $$x = 4$$ является решением).

### б) Уравнение:
$$
\frac{3}{x-5}+\frac{8}{x}=2
$$

1. Умножим обе стороны на $$x(x-5)$$ (при условии, что $$x \neq 0$$ и $$x \neq 5$$):
$$
3x + 8(x-5) = 2x(x-5)
$$

2. Раскроем скобки:
$$
3x + 8x - 40 = 2x^{2} - 10x
$$

3. Переносим все члены в одну сторону:
$$
2x^{2} - 10x - 11x + 40 = 0 \implies 2x^{2} - 21x + 40 = 0
$$

4. Решим квадратное уравнение:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{21 \pm \sqrt{(-21)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 40}}{2 \cdot 2}
$$
$$
= \frac{21 \pm \sqrt{441 - 320}}{4} = \frac{21 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{21 \pm 11}{4}
$$

5. Получаем два корня:
$$
x_{1} = \frac{32}{4} = 8, \quad x_{2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}
$$

6. Проверяем, что $$x \neq 0$$ и $$x \neq 5$$ для обоих значений (оба значения допустимы).

**Ответ для б)**: $$x_{1} = 8$$, $$x_{2} = \frac{5}{2}$$ (или $$x_{1} = 2.5$$).
**Решения уравнений:** **a)** $$x = -1$$ (также $$x = 4$$ является решением). **б)** $$x_{1} = 8$$, $$x_{2} = 2.5$$.

1. Решите уравнение: \( \begin{array}{ll}\text { a) } \frac{3 x+4}{x^{2}-16}=\frac{x^{2}}{x^{2}-16} ; & \text { б) } \frac{3}{x-5}+\frac{8}{x}=2 \end{array} \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Algebra Questions