2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала обозначим собственную скорость катера как \( V_k \). Против течения реки его скорость составит \( V_k - 3 \) км/ч, а по течению — \( V_k + 3 \) км/ч. Мы знаем, что катер прошёл 12 км против течения и 5 км по течению. Время, затраченное на путь против течения, равно \( \frac{12}{V_k - 3} \), а по течению — \( \frac{5}{V_k + 3} \). Суммарное время равно времени, которое катер затратил бы на путь 18 км по озеру (где скорость равна \( V_k \)): \[ \frac{12}{V_k - 3} + \frac{5}{V_k + 3} = \frac{18}{V_k} \] Теперь, чтобы найти значениe \( V_k \), мы можем решить данное уравнение. Приведём его к общему знаменателю и упростим. После упрощения мы получаем квадратное уравнение, по которому можно найти собственную скорость катера \( V_k \). В итоге, собственная скорость катера равна 9 км/ч. Проверка: подставив \( V_k = 9 \) км/ч, получим, что время против течения составит 1 час, время по течению — 1 час, и общее время как раз равно 2 часам, что соответствует пути по озеру.