4. Determina, en cada caso, el valor de \( m \) y \( b \), de forma que la función \( f(x)=m x+b \). satisfaga las condiciones. a. Pasa por los puntos \( (1,3) \) y \( (4,5) \). b. Intersecto con \( X \) en -6, e intersecto con \( Y \) en -3 . c. Pasa por \( (0,0) \) y por \( (1,-2) \). d. Pasa por \( (-4,3) \) y por \( (4,3) \). e. Pasa por \( (2,3) \), y \( g(x)=f(x)-3 x \) es una función constante. f. \( g(x)=f(x)-3 x \) es la función identidad.

**a.** Dados los puntos \( (1,3) \) y \( (4,5) \): 1. Calcular la pendiente: \[ m=\frac{5-3}{4-1}=\frac{2}{3} \] 2. Usar uno de los puntos para hallar \( b \). Con \( (1,3) \): \[ 3=m\cdot1+b \quad\Longrightarrow\quad 3=\frac{2}{3}+b \quad\Longrightarrow\quad b=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} \] Resultado: \( m=\frac{2}{3} \) y \( b=\frac{7}{3} \). --- **b.** La función intersecta el eje \( X \) en \(-6\) y el eje \( Y \) en \(-3\). 1. La intersección con el eje \( Y \) ocurre cuando \( x=0 \), de modo que: \[ f(0)=b=-3 \] 2. La intersección con el eje \( X \) ocurre cuando \( f(x)=0 \) y \( x=-6 \). Por lo tanto: \[ 0=m\cdot(-6)+b \quad\Longrightarrow\quad 0=-6m-3 \quad\Longrightarrow\quad -6m=3 \quad\Longrightarrow\quad m=-\frac{1}{2} \] Resultado: \( m=-\frac{1}{2} \) y \( b=-3 \). --- **c.** La función pasa por los puntos \( (0,0) \) y \( (1,-2) \). 1. Con \( x=0 \) se tiene: \[ f(0)=b=0 \] 2. Luego, con \( (1,-2) \): \[ -2=m\cdot1+0 \quad\Longrightarrow\quad m=-2 \] Resultado: \( m=-2 \) y \( b=0 \). --- **d.** La función pasa por \( (-4,3) \) y \( (4,3) \). 1. Como ambos puntos tienen la misma coordenada \( y \), la recta es horizontal y su pendiente es: \[ m=0 \] 2. Además, \( f(x)=3 \) para cualquier \( x \), por lo que: \[ b=3 \] Resultado: \( m=0 \) y \( b=3 \). --- **e.** La función pasa por \( (2,3) \) y se cumple que \( g(x)=f(x)-3x \) es constante. 1. Para que \( g(x) \) sea constante, la parte dependiente de \( x \) en \( f(x) \) debe cancelar la parte \( -3x \). Es decir, suponiendo \( f(x)=mx+b \): \[ g(x)=mx+b-3x=(m-3)x+b \] Para que la función sea constante debe valer \( m-3=0 \): \[ m=3 \] 2. Con \( m=3 \), usar el punto \( (2,3) \): \[ 3=3\cdot2+b \quad\Longrightarrow\quad 3=6+b \quad\Longrightarrow\quad b=-3 \] Resultado: \( m=3 \) y \( b=-3 \). --- **f.** Se tiene que \( g(x)= f(x)-3x \) es la función identidad, es decir, \( g(x)=x \) para todo \( x \). 1. Plantear la igualdad: \[ f(x)-3x=x \quad\Longrightarrow\quad f(x)=4x \] 2. De aquí, identificamos: \[ m=4 \quad\text{y}\quad b=0 \] Resultado: \( m=4 \) y \( b=0 \).