2. Compruebe que la función propuesta es una solución de la ecuación diferencial a. Ecuación Diferencial: $$ y^{\prime}+2 y=3 e^{(-2 x)} $$ Posible Solución: $$ y=3 x e^{(-2 x)}+C^{\star} e^{(-2 x)} $$ (donde $$ C $$ es una constante) b. Ecuación Diferencial: $$ y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0 $$ Posible Solución: $$ y=C 1^{\star} e^{(2 x)}+C 2^{\star} x e^{(2 x)} $$ (donde $$ C 1 $$ y C2 son constantes) c. Ecuación Diferencial: $$ 2 y^{\prime}+y=0 $$ Posible Solución: $$ y=e^{(-x / 2)} $$ d. Ecuación Diferencial: $$ y^{\prime \prime}-y=4 e^{(-x)} $$ Posible Solución: $$ y=C 1 e^{x}+C 2 e^{(-x)}-2 x e^{(-x)} $$ (donde $$ C 1 $$ y C2 Constantes

Question

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Para comprobar que las funciones propuestas son soluciones de las ecuaciones diferenciales dadas, seguiremos los siguientes pasos:

1. **Derivaremos la función propuesta.**
2. **Sustituyamos la función y su derivada en la ecuación diferencial.**
3. **Verificaremos si la igualdad se cumple.**

### a. Ecuación Diferencial: $$ y^{\prime}+2 y=3 e^{(-2 x)} $$

**Posible Solución:** $$ y=3 x e^{(-2 x)}+C^{\star} e^{(-2 x)} $$

1. **Derivada de $$ y $$:**
   $$
   y' = \frac{d}{dx}(3 x e^{-2x} + C e^{-2x})
   $$
   Usamos la regla del producto y la regla de la cadena:
   $$
   y' = 3 e^{-2x} + 3x \cdot (-2)e^{-2x} + C \cdot (-2)e^{-2x}
   $$
   Simplificando:
   $$
   y' = 3 e^{-2x} - 6x e^{-2x} - 2C e^{-2x}
   $$
   $$
   y' = (3 - 6x - 2C)e^{-2x}
   $$

2. **Sustitución en la ecuación:**
   $$
   (3 - 6x - 2C)e^{-2x} + 2(3x e^{-2x} + Ce^{-2x}) = 3 e^{-2x}
   $$
   Simplificando:
   $$
   (3 - 6x - 2C + 6x + 2C)e^{-2x} = 3 e^{-2x}
   $$
   La igualdad se cumple, por lo que la función es una solución.

### b. Ecuación Diferencial: $$ y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0 $$

**Posible Solución:** $$ y=C_1 e^{(2 x)}+C_2 x e^{(2 x)} $$

1. **Derivadas de $$ y $$:**
   $$
   y' = C_1 \cdot 2 e^{(2x)} + C_2(e^{(2x)} + 2x e^{(2x)})
   $$
   $$
   y' = (2C_1 + C_2)e^{(2x)} + 2C_2 x e^{(2x)}
   $$

$$
   y'' = (2C_1 + C_2) \cdot 2 e^{(2x)} + (2C_2 e^{(2x)} + 2C_2 x \cdot 2 e^{(2x)})
   $$
   $$
   y'' = (4C_1 + 4C_2 + 4C_2 x)e^{(2x)}
   $$

2. **Sustitución en la ecuación:**
   $$
   (4C_1 + 4C_2 + 4C_2 x)e^{(2x)} - 4((2C_1 + C_2)e^{(2x)} + 2C_2 x e^{(2x)}) + 4(C_1 e^{(2x)} + C_2 x e^{(2x)}) = 0
   $$
   Simplificando, se verifica que la igualdad se cumple, por lo que la función es una solución.

### c. Ecuación Diferencial: $$ 2 y^{\prime}+y=0 $$

**Posible Solución:** $$ y=e^{(-x / 2)} $$

1. **Derivada de $$ y $$:**
   $$
   y' = \frac{d}{dx}(e^{-x/2}) = -\frac{1}{2} e^{-x/2}
   $$

2. **Sustitución en la ecuación:**
   $$
   2(-\frac{1}{2} e^{-x/2}) + e^{-x/2} = 0
   $$
   Simplificando:
   $$
   -e^{-x/2} + e^{-x/2} = 0
   $$
   La igualdad se cumple, por lo que la función es una solución.

### d. Ecuación Diferencial: $$ y^{\prime \prime}-y=4 e^{(-x)} $$

**Posible Solución:** $$ y=C_1 e^{x}+C_2 e^{(-x)}-2 x e^{(-x)} $$

1. **Derivadas de $$ y $$:**
   $$
   y' = C_1 e^{x} - C_2 e^{-x} - 2 e^{-x} + 2x e^{-x}
   $$
   $$
   y'' = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + 2 e^{-x} - 2x e^{-x}
   $$

2. **Sustitución en la ecuación:**
   $$
   (C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + 2 e^{-x} - 2x e^{-x}) - (C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}-2x e^{-x}) = 4 e^{-x}
   $$
   Simplificando, se verifica que la igualdad se cumple, por lo que la función es una solución.

### Conclusión
Las funciones propuestas son soluciones de las ecuaciones diferenciales dadas.
Las funciones propuestas son soluciones de las ecuaciones diferenciales dadas.

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