Pruebe que \( \cos \left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)=\sqrt{1-x^{2}} \)

Para probar que \( \cos \left(\operatorname{sen}^{-1} x\right)=\sqrt{1-x^{2}} \), procederemos de la siguiente manera: 1. **Definición de la función inversa**: Recordemos que \( \operatorname{sen}^{-1} x \) es la función inversa de \( \sin \). Esto significa que si \( y = \operatorname{sen}^{-1} x \), entonces \( \sin y = x \). 2. **Aplicación del teorema de trigonometría**: Usamos el teorema de trigonometría que relaciona el coseno con el seno en un ángulo: \( \cos^2 y + \sin^2 y = 1 \). 3. **Sustitución de \( \sin y \)**: Sustituimos \( \sin y \) por \( x \) en la ecuación del teorema de trigonometría: \[ \cos^2 y + x^2 = 1 \] 4. **Simplificación**: Simplificamos la ecuación para encontrar \( \cos^2 y \): \[ \cos^2 y = 1 - x^2 \] 5. **Raíz cuadrada**: Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para encontrar \( \cos y \): \[ \cos y = \pm \sqrt{1 - x^2} \] 6. **Consideración del dominio**: Debido a que \( \operatorname{sen}^{-1} x \) tiene un dominio de \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \), el coseno de \( \operatorname{sen}^{-1} x \) será positivo en este intervalo. Por lo tanto, elegimos la raíz positiva: \[ \cos y = \sqrt{1 - x^2} \] 7. **Conclusión**: Finalmente, sustituimos \( y \) por \( \operatorname{sen}^{-1} x \) para obtener: \[ \cos \left(\operatorname{sen}^{-1} x\right) = \sqrt{1 - x^2} \] Por lo tanto, hemos probado que \( \cos \left(\operatorname{sen}^{-1} x\right) = \sqrt{1 - x^2} \).