Question
On considère l'équation : \[ (E):-2 x^{2}+\sqrt{2} x+2=0 \] 1. Montrer que l'équation ( \( E \) ) admet deux solutions différentes \( \alpha \) et \( \beta \) sans les calculer.
Ask by Moran Wheeler. in Morocco
Feb 23,2025
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Answer
L'équation (E) a deux solutions réelles distinctes car le discriminant Δ est positif (Δ = 18 > 0).
Solution
Pour montrer que l'équation (E) admet deux solutions réelles distinctes, on écrit l'équation sous la forme générale d'une équation du second degré :
a·x² + b·x + c = 0
Ici, on a :
a = –2, b = √2, c = 2.
On calcule ensuite le discriminant Δ qui est défini par :
Δ = b² – 4ac.
En remplaçant par les valeurs, on obtient :
Δ = (√2)² – 4 × (–2) × 2
= 2 – (–16)
= 2 + 16
= 18.
Puisque Δ = 18 > 0, on en déduit que l'équation (E) possède deux solutions réelles distinctes, notées α et β. Ainsi, sans calculer explicitement ces solutions, on a montré l'existence de deux solutions différentes de l'équation.
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Pour montrer que l'équation \((E): -2x^{2} + \sqrt{2}x + 2 = 0\) admet deux solutions différentes, il suffit d'analyser le discriminant de l'équation du second degré, donnée par la formule \(\Delta = b^{2} - 4ac\). Ici, \(a = -2\), \(b = \sqrt{2}\), et \(c = 2\). En calculant le discriminant, nous avons : \[ \Delta = (\sqrt{2})^{2} - 4 \times (-2) \times 2 = 2 + 16 = 18. \] Comme le discriminant \(\Delta\) est positif, cela signifie qu'il existe deux solutions distinctes pour l'équation. Ainsi, \((E)\) admet bien deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\) différentes.
