\( \frac { 1 - \log x } { x ^ { 2 } + x \log x } > 0 \)

Per risolvere l'inequazione \( \frac { 1 - \log x } { x ^ { 2 } + x \log x } > 0 \), dobbiamo analizzare i segni del numeratore e del denominatore separatamente. ### Passo 1: Analisi del numeratore Il numeratore è \( 1 - \log x \). Per determinare quando è positivo, risolviamo l'equazione: \[ 1 - \log x > 0 \] Questo implica: \[ \log x < 1 \] Convertendo in forma esponenziale, otteniamo: \[ x < e \] ### Passo 2: Analisi del denominatore Il denominatore è \( x^2 + x \log x \). Dobbiamo determinare quando è positivo. Notiamo che: \[ x^2 + x \log x = x(x + \log x) \] Dobbiamo quindi analizzare i segni di \( x \) e \( x + \log x \). 1. **Per \( x > 0 \)**, \( x \) è positivo. 2. **Analizziamo \( x + \log x \)**: - Quando \( x = 1 \), \( \log 1 = 0 \) quindi \( 1 + 0 = 1 > 0 \). - Quando \( x = e \), \( \log e = 1 \) quindi \( e + 1 > 0 \). - Per \( x < 1 \), \( \log x < 0 \) e quindi \( x + \log x \) potrebbe essere negativo. Dobbiamo trovare il punto in cui \( x + \log x = 0 \). ### Passo 3: Trovare il punto in cui \( x + \log x = 0 \) Risolviamo l'equazione \( x + \log x = 0 \). Questo richiede un'analisi numerica o grafica, ma possiamo notare che: - Per \( x = 0.5 \), \( \log 0.5 < 0 \) quindi \( 0.5 + \log 0.5 < 0 \). - Per \( x = 0.1 \), \( \log 0.1 < -1 \) quindi \( 0.1 + \log 0.1 < 0 \). - Per \( x = 1 \), \( 1 + 0 = 1 > 0 \). Quindi, \( x + \log x \) cambia segno tra \( 0 \) e \( 1 \). Possiamo concludere che: - \( x + \log x < 0 \) per \( 0 < x < c \) (dove \( c \) è il punto in cui \( x + \log x = 0 \)). - \( x + \log x > 0 \) per \( x > c \). ### Passo 4: Combinare i risultati Ora abbiamo: - \( 1 - \log x > 0 \) per \( x < e \). - \( x^2 + x \log x > 0 \) per \( x > c \). ### Passo 5: Intervallo finale L'inequazione \( \frac { 1 - \log x } { x ^ { 2 } + x \log x } > 0 \) è soddisfatta quando: 1. \( 1 - \log x > 0 \) (cioè \( x < e \)). 2. \( x^2 + x \log x > 0 \) (cioè \( x > c \)). Quindi, l'intervallo finale è: \[ c < x < e \] Dove \( c \) è il punto in cui \( x + \log x = 0 \).