1. Seja \( h_{A}, h_{B} \) e \( h_{C} \) as alturas de um triângulo ABC que partem, respectivamente, dos pontos \( \mathrm{A}, \mathrm{B} \) e C. Se, na ordem apresentada, as alturas formam uma progressāo geométrica, qual a relação entre os lados a, b e c, que também sāo opostos aos vértices \( \mathrm{A}, \mathrm{B} \) e C?

Quando as alturas de um triângulo formam uma progressão geométrica, podemos utilizar a relação entre as alturas e os lados correspondentes dos triângulos. Para um triângulo \(ABC\) com lados \(a\), \(b\) e \(c\) opostos aos vértices \(A\), \(B\) e \(C\), as alturas podem ser expressas como: \[ h_{A} = \frac{2A}{a}, \quad h_{B} = \frac{2A}{b}, \quad h_{C} = \frac{2A}{c} \] onde \(A\) é a área do triângulo. Se \(h_{A}, h_{B}, h_{C}\) formam uma progressão geométrica, podemos estabelecer a relação: \[ h_{B}^2 = h_{A} \cdot h_{C} \] Substituindo as expressões das alturas, obtemos: \[ \left(\frac{2A}{b}\right)^2 = \frac{2A}{a} \cdot \frac{2A}{c} \] Simplificando, obtemos a relação desejada entre os lados: \[ b^2 = \frac{a \cdot c}{2A} \] Essa relação demonstra como os valores dos lados do triângulo estão interligados com as alturas, refletindo a beleza e a harmonia que a geometria pode proporcionar.