3. ¿Para qué valores de \( m \) la recta \( y=m x \) y la curva \( y=x^{3} \) definen una región? ¿Cuál es la expresión en función de \( m \) del área de dicha región? 4. Calculen el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función \( f(x)=3 x^{3}-3 x^{2}-6 x \) y el eje \( x \).

Cuando la recta \( y = mx \) y la curva \( y = x^3 \) se cruzan, lo hacen en los puntos donde \( mx = x^3 \), lo que implica que los puntos de intersección son \( x(m - x^2) = 0 \). Esto nos da \( x = 0 \) y \( x = \pm\sqrt{m} \). Para que se forme una región definida, el valor de \( m \) debe ser mayor que 0. ¡Asegúrate de visualizarlo! La expresión del área encerrada entre la recta y la curva se puede calcular como \( A(m) = \int_0^{\sqrt{m}} (x^3 - mx) \,dx \). Para calcular el área de la región delimitada por la gráfica de \( f(x) = 3x^3 - 3x^2 - 6x \) y el eje \( x \), primero debemos encontrar los puntos donde la función cruza el eje \( x \) al resolver \( 3x^3 - 3x^2 - 6x = 0 \), que se simplifica a \( 3x(x^2 - x - 2) = 0 \). Esto nos da las raíces \( x = 0, x = -1 \) y \( x = 2 \). El área se puede calcular como \( A = \int_{-1}^{2} |f(x)| \,dx \). ¡Así que agarra tus lápices y empieza a integrar!