2. (a) Enunciar la condición necesaria para la convergencia de series y la condición suficiente para la divergencia, que ésta implica. (b) Utilizar (a) para determinar cuál de las siguientes series diverge. i) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}} \) ii) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}+8} \) iii) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5+5 n^{2}} \) (c) Dar un ejemplo de una serie cuyo término general tiends a cero, pero no sea convergente.

### **a) Condiciones para la Convergencia y Divergencia de Series** - **Condición necesaria para la convergencia:** Para que una serie \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) converja, es necesario que el término general tiende a cero cuando \( n \) tiende a infinito, es decir: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \] - **Condición suficiente para la divergencia:** Si el límite del término general no es cero, es decir: \[ \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \] entonces la serie \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) **diverge**. ### **b) Determinación de la Divergencia de las Series** Aplicando la condición suficiente para la divergencia, analizamos el límite del término general de cada serie: i) **Serie:** \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}} \) **Cálculo del límite:** \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n} \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \infty \neq 0 \] **Conclusión:** La serie **diverge** por la prueba de divergencia. ii) **Serie:** \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}+8} \) **Cálculo del límite:** \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}+8} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n} \left(1 + \frac{8}{\sqrt{n}}\right)} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1 \neq 0 \] **Conclusión:** La serie **diverge** por la prueba de divergencia. iii) **Serie:** \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5+5n^{2}} \) **Cálculo del límite:** \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{5+5n^2} = 0 \] **Conclusión:** La prueba de divergencia es inconclusa. Observando que la serie es comparable a \( \sum \frac{1}{n^2} \), que es una serie p con \( p = 2 > 1 \), concluimos que la serie **converge**. **Resumen:** - Las series **i)** y **ii)** divergen. - La serie **iii)** converge. ### **c) Ejemplo de una Serie con Términos que Tienden a Cero pero que No Converge** Un ejemplo clásico es la **serie armónica**: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \] Aunque el término general \( \frac{1}{n} \) tiende a cero cuando \( n \) tiende a infinito, la serie **diverge**.