Pregunta
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  1. (a) Enunciar la condición necesaria para la convergencia de series y la condición suficiente para
    la divergencia, que ésta implica.
    (b) Utilizar (a) para determinar cuál de las siguientes series diverge.
    i) ii) iii)
    © Dar un ejemplo de una serie cuyo término general tiends a cero, pero no sea convergente.

Ask by Gibson Mckenzie. in Argentina
Jan 28,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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a) Condiciones para la Convergencia y Divergencia de Series

  • Para que una serie converja: El término general debe tender a cero.
  • Para que una serie diverja: Si el término general no tiende a cero.

b) Determinación de la Divergencia de las Series

  • i) diverge porque el término general no tiende a cero.
  • ii) diverge por la misma razón.
  • iii) converge ya que el término general tiende a cero y la serie es similar a , que es convergente.

c) Ejemplo de una Serie con Términos que Tienden a Cero pero que No Converge

La serie armónica es un ejemplo donde el término general tiende a cero, pero la serie diverge.

Solución

a) Condiciones para la Convergencia y Divergencia de Series

  • Condición necesaria para la convergencia:
    Para que una serie converja, es necesario que el término general tiende a cero cuando tiende a infinito, es decir:
  • Condición suficiente para la divergencia:
    Si el límite del término general no es cero, es decir:
    entonces la serie diverge.

b) Determinación de la Divergencia de las Series

Aplicando la condición suficiente para la divergencia, analizamos el límite del término general de cada serie:
i) Serie:
Cálculo del límite:
Conclusión: La serie diverge por la prueba de divergencia.
ii) Serie:
Cálculo del límite:
Conclusión: La serie diverge por la prueba de divergencia.
iii) Serie:
Cálculo del límite:
Conclusión: La prueba de divergencia es inconclusa. Observando que la serie es comparable a , que es una serie p con , concluimos que la serie converge.
Resumen:
  • Las series i) y ii) divergen.
  • La serie iii) converge.

c) Ejemplo de una Serie con Términos que Tienden a Cero pero que No Converge

Un ejemplo clásico es la serie armónica:
Aunque el término general tiende a cero cuando tiende a infinito, la serie diverge.

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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Mind Expander

Para que una serie converja, es necesario que el límite de sus términos generales tienda a cero; sin embargo, esta condición no es suficiente para garantizar la convergencia. Por otro lado, si los términos generales de la serie no tienden a cero, entonces la serie necesariamente diverge.
Analizando las series dadas:
i) diverge, ya que sus términos no tienden a cero: .
ii) también diverge, porque .
iii) converge, ya que .
Un ejemplo de una serie que tiene términos que tienden a cero, pero no es convergente, es la serie , conocida como la serie armónica. Aunque tiende a cero, la serie diverge.

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