Pregunta
- (a) Enunciar la condición necesaria para la convergencia de series y la condición suficiente para
la divergencia, que ésta implica.
(b) Utilizar (a) para determinar cuál de las siguientes series diverge.
i)
ii)
iii)
© Dar un ejemplo de una serie cuyo término general tiends a cero, pero no sea convergente.
la divergencia, que ésta implica.
(b) Utilizar (a) para determinar cuál de las siguientes series diverge.
i)
© Dar un ejemplo de una serie cuyo término general tiends a cero, pero no sea convergente.
Ask by Gibson Mckenzie. in Argentina
Jan 28,2025
Solución de inteligencia artificial de Upstudy
Respuesta verificada por el tutor
Responder
a) Condiciones para la Convergencia y Divergencia de Series
- Para que una serie converja: El término general debe tender a cero.
- Para que una serie diverja: Si el término general no tiende a cero.
b) Determinación de la Divergencia de las Series
- i)
diverge porque el término general no tiende a cero. - ii)
diverge por la misma razón. - iii)
converge ya que el término general tiende a cero y la serie es similar a , que es convergente.
c) Ejemplo de una Serie con Términos que Tienden a Cero pero que No Converge
La serie armónica
es un ejemplo donde el término general tiende a cero, pero la serie diverge.
Solución
a) Condiciones para la Convergencia y Divergencia de Series
-
Condición necesaria para la convergencia:
Para que una serieconverja, es necesario que el término general tiende a cero cuando tiende a infinito, es decir: -
Condición suficiente para la divergencia:
Si el límite del término general no es cero, es decir:entonces la seriediverge.
b) Determinación de la Divergencia de las Series
Aplicando la condición suficiente para la divergencia, analizamos el límite del término general de cada serie:
i) Serie:
Cálculo del límite:
Cálculo del límite:
Conclusión: La serie diverge por la prueba de divergencia.
ii) Serie:
Cálculo del límite:
Cálculo del límite:
Conclusión: La serie diverge por la prueba de divergencia.
iii) Serie:
Cálculo del límite:
Cálculo del límite:
Conclusión: La prueba de divergencia es inconclusa. Observando que la serie es comparable a
, que es una serie p con
, concluimos que la serie converge.
Resumen:
- Las series i) y ii) divergen.
- La serie iii) converge.
c) Ejemplo de una Serie con Términos que Tienden a Cero pero que No Converge
Un ejemplo clásico es la serie armónica:
Aunque el término general
tiende a cero cuando
tiende a infinito, la serie diverge.
Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional
Como
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Mind Expander
Para que una serie converja, es necesario que el límite de sus términos generales tienda a cero; sin embargo, esta condición no es suficiente para garantizar la convergencia. Por otro lado, si los términos generales de la serie no tienden a cero, entonces la serie necesariamente diverge.
Analizando las series dadas:
i) diverge, ya que sus términos no tienden a cero:
.
ii) también diverge, porque
.
iii) converge, ya que
.
i)
ii)
iii)
Un ejemplo de una serie que tiene términos que tienden a cero, pero no es convergente, es la serie
, conocida como la serie armónica. Aunque
tiende a cero, la serie diverge.
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