Aufgabe
a) Ein Satteldach über einem 7 m breiten Haus soll eine Neigung von haben. Berechne, wie hoch das Dach in der Mitte wird.
b) Eine Bockleiter besteht aus zwei 2 m langen Stücken, deren untere Enden im aufgestellten Zustand 1,25 m auseinander sind. Berechne den Winkel an der Spitze und die Höhe der aufgestellten Leiter.

Question

Aufgabe
a) Ein Satteldach über einem 7 m breiten Haus soll eine Neigung von

haben. Berechne, wie hoch das Dach in der Mitte wird.
b) Eine Bockleiter besteht aus zwei 2 m langen Stücken, deren untere Enden im aufgestellten Zustand 1,25 m auseinander sind. Berechne den Winkel an der Spitze und die Höhe der aufgestellten Leiter.

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**a)**  
Das Satteldach hat eine Neigung von $$35^\circ$$ und überspannt ein 7‑m‑breites Haus. Da das Dach symmetrisch verläuft, beträgt die horizontale Strecke von der Traufe (Dachkante) bis zur Dachmitte  
$$
\Delta x=\frac{7\,\text{m}}{2}=3,5\,\text{m}.
$$
Der Höhenunterschied $$h$$ von der Traufe bis zur Mitte wird über den Tangens des Neigungswinkels bestimmt:
$$
h=\Delta x\cdot\tan\left(35^\circ\right).
$$
Einsetzen des Wertes:
$$
h=3,5\,\text{m}\cdot\tan\left(35^\circ\right).
$$
Mit $$\tan\left(35^\circ\right)\approx0,700$$ erhält man:
$$
h\approx3,5\,\text{m}\cdot0,700\approx2,45\,\text{m}.
$$

**b)**  
Es wird eine Bockleiter betrachtet, die aus zwei gleich langen Stücken der Länge $$L=2\,\text{m}$$ besteht. Die unteren Enden sind im aufgestellten Zustand $$1,25\,\text{m}$$ auseinander. Man kann sich dabei ein gleichschenkliges Dreieck vorstellen, bei dem die beiden Seiten $$L$$ und die Basis $$b=1,25\,\text{m}$$ ist.

1. **Berechnung der Höhe $$H$$ des Dreiecks:**  
   Die Höhe $$H$$ lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Die Hälfte der Basis beträgt
   $$
   \frac{b}{2}=\frac{1,25\,\text{m}}{2}=0,625\,\text{m}.
   $$
   Dann gilt
   $$
   H=\sqrt{L^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}=\sqrt{2^2-\left(0,625\right)^2}=\sqrt{4-0,390625}=\sqrt{3,609375}.
   $$
   Somit
   $$
   H\approx1,90\,\text{m}.
   $$

2. **Berechnung des Winkels an der Spitze $$\varphi$$:**  
   An jedem Schenkel des Dreiecks entsteht ein rechter Winkel zwischen der Höhe und der halben Basis. Es gilt
   $$
   \tan\theta=\frac{\frac{b}{2}}{H}=\frac{0,625}{1,90}.
   $$
   Daraus folgt
   $$
   \theta=\arctan\left(\frac{0,625}{1,90}\right).
   $$
   Numerisch ist
   $$
   \theta\approx18,23^\circ.
   $$
   Da die Spitze des Dreiecks aus zwei solchen Winkeln besteht, ist der Winkel an der Spitze
   $$
   \varphi=2\theta\approx2\cdot18,23^\circ\approx36,46^\circ.
   $$

**Ergebnisse:**  
- Die Dachmitte liegt etwa $$2,45\,\text{m}$$ über der Traufe.  
- Die aufgestellte Leiter erreicht eine Höhe von etwa $$1,90\,\text{m}$$, und der Winkel an der Spitze beträgt ca. $$36,5^\circ$$.
**a)** Das Dach in der Mitte ist etwa 2,45 Meter hoch. **b)** Die aufgestellte Leiter erreicht eine Höhe von etwa 1,90 Meter und hat an der Spitze einen Winkel von etwa 36,5 Grad.

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