서술형문제 올린 공의 \( 5 t^{2} \) ) mol 이상인 1 이차방정식 \( x^{2}+a x+b=0 \) 의 두 근이 \( -2,6 \) 일 때, 이차방정식 \( a x^{2}+b x-5=0 \) 의 두 근의 곱을 구하시오. (단, \( a, b \) 는 상수) 풉어 [1단저] \( a, b \) 의 값 각각 구하기 \( (50 \%) \) [2단져] \( a x^{2}+b x-5=0 \) 의 두 근구하기 \( (40 \%) \) [3딴ㅈ] 두 근의 곱 구하기 \( (20 \%) \)

**문제 해결** 이차방정식 \( x^{2} + a x + b = 0 \)의 두 근이 \( -2 \)와 \( 6 \)일 때, 상수 \( a \)와 \( b \)를 찾고, 이를 이용하여 새로운 이차방정식 \( a x^{2} + b x - 5 = 0 \)의 두 근의 곱을 구하는 문제입니다. --- ### 1단계: \( a \)와 \( b \)의 값 구하기 (50%) **이차방정식의 근과 계수의 관계**를 이용하여 문제를 풉니다. 이차방정식 \( x^{2} + a x + b = 0 \)의 두 근이 \( \alpha \)와 \( \beta \)일 때, \[ \alpha + \beta = -a \quad \text{(근의 합)} \] \[ \alpha \cdot \beta = b \quad \text{(근의 곱)} \] 주어진 두 근이 \( -2 \)와 \( 6 \)이므로, \[ -2 + 6 = -a \quad \Rightarrow \quad 4 = -a \quad \Rightarrow \quad a = -4 \] \[ (-2) \times 6 = b \quad \Rightarrow \quad b = -12 \] 따라서, \( a = -4 \)이고 \( b = -12 \)입니다. --- ### 2단계: 새로운 이차방정식 \( a x^{2} + b x - 5 = 0 \)의 두 근 구하기 (40%) \( a \)와 \( b \)의 값을 대입하여 새로운 이차방정식을 구성합니다. \[ -4 x^{2} - 12 x - 5 = 0 \] 이 방정식을 표준 형태으로 변환하기 위해 양변에 \( -1 \)을 곱합니다. \[ 4 x^{2} + 12 x + 5 = 0 \] 이제 이 방정식의 근을 구하기 위해 이차방정식의 근의 공식을 사용합니다. \[ x = \frac{ -B \pm \sqrt{B^{2} - 4AC} }{ 2A } \] 여기서 \( A = 4 \), \( B = 12 \), \( C = 5 \)이므로, \[ x = \frac{ -12 \pm \sqrt{(12)^{2} - 4 \times 4 \times 5} }{ 2 \times 4 } = \frac{ -12 \pm \sqrt{144 - 80} }{ 8 } = \frac{ -12 \pm \sqrt{64} }{ 8 } = \frac{ -12 \pm 8 }{ 8 } \] 따라서, \[ x_{1} = \frac{ -12 + 8 }{ 8 } = \frac{ -4 }{ 8 } = -\frac{1}{2} \] \[ x_{2} = \frac{ -12 - 8 }{ 8 } = \frac{ -20 }{ 8 } = -\frac{5}{2} \] 새로운 이차방정식의 두 근은 \( -\frac{1}{2} \)과 \( -\frac{5}{2} \)입니다. --- ### 3단계: 두 근의 곱 구하기 (20%) 새로운 이차방정식의 두 근이 \( -\frac{1}{2} \)과 \( -\frac{5}{2} \)이므로, 이들의 곱은 \[ \left( -\frac{1}{2} \right) \times \left( -\frac{5}{2} \right) = \frac{5}{4} \] 따라서, 두 근의 곱은 \( \frac{5}{4} \)입니다. --- **정답:** 두 근의 곱은 \( \frac{5}{4} \)입니다.