a) Alan y Fernanda comen en la misma pizzeria, pero Alan asiste cada 12 dias y Fernanda cada 15 dias ¿Cuándo volverán a encontrarse? b) Dario compró 40 donas y Manuel compró 32 para una fiesta. Quieren repartirlas entre los invitados de manera que ambos den la misma cantidad a cada persona. ¿Cuâl es el número máximo de invitados que deben asistir para que nadie se quede sin donas? c) Socrates posee una pista de juguete con dos carritos. El primer carrito le da una vuelta completa a la pista en 31 sy el segundo lo hace en 17 s. Camilo también tiene su pista con dos carritos, el primero da una vuelta completa en 36 sy eł segundo en 42 s . Debido a que Camilo siempre pierde cuando juegan, le propone a Sócrates que el ganador sea quien tenga en su pista sus dos carritos situados en la meta al mismo tiempo. ¿Quién de ellos ganará? d) Un acuario pone a la venta 48 peces payaso, 60 peces globo, 36 guppys, 24 pulpos y 72 peces león. Para la venta, se desea que los contenedores alberguen la mayor cantidad de animales posible, pero en cada contenedor sólo puede haber peces de una única especie. ¿Cuántos peces debe haber por contenedor y cuántos contenedores se necesitan para cada especie? \( \square \) e) Se desea instalar en un jardin tres diferentes tomas de agua automáticas. La primera toma se activará cada 6 horas, la segunda cada 8 horas y la tercera, cada 14 horas. Si la primera vez que inicia el contador es al mediodia, icuántas veces al mes empezarán todas las tomas a regar al mismo tiempo? \( \square \)

**a)** Para saber cuándo se encontrarán Alan y Fernanda, calculamos el mínimo común múltiplo (mcm) de \(12\) y \(15\). Se tiene: \[ 12 = 2^2\cdot 3,\quad 15 = 3\cdot 5. \] Tomando los factores primos con sus mayores exponentes: \[ \text{mcm}(12,15)=2^2\cdot 3\cdot 5=4\cdot 3\cdot 5=60. \] Por lo tanto, se encontrarán cada \(60\) días. --- **b)** Para repartir las \(40\) donas de Darío y las \(32\) de Manuel de forma equitativa entre los invitados, debemos hallar el máximo común divisor (mcd) de \(40\) y \(32\). Factorizamos: \[ 40=2^3\cdot 5,\quad 32=2^5. \] El mayor divisor común es \(2^3=8\). Por lo tanto, el número máximo de invitados es \(8\) y a cada uno se le darán: \[ \text{a Darío: } \frac{40}{8}=5 \quad \text{donas, y a Manuel: } \frac{32}{8}=4 \quad \text{donas.} \] --- **c)** Para determinar quién gana, debemos calcular el tiempo en que en cada pista los dos carritos estarán en la meta al mismo tiempo. Esto se logra hallando el mcm de los tiempos de vuelta de cada uno. *Para Sócrates:* Los tiempos son \(31\) s y \(17\) s. Dado que ambos son primos y no comparten factores, \[ \text{mcm}(31,17)=31\cdot 17=527 \quad \text{s}. \] *Para Camilo:* Los tiempos son \(36\) s y \(42\) s. Factorizamos: \[ 36=2^2\cdot 3^2,\quad 42=2\cdot 3\cdot 7. \] Tomando los factores con sus exponentes máximos: \[ \text{mcm}(36,42)=2^2\cdot 3^2\cdot 7=4\cdot 9\cdot 7=252 \quad \text{s}. \] Como \(252 < 527\), en la pista de Camilo se reunirán antes ambos carritos, por lo que él será el ganador. --- **d)** Se tienen las siguientes cantidades: \[ 48,\; 60,\; 36,\; 24,\; 72. \] Deseamos agrupar cada especie en contenedores de la mayor cantidad posible, lo que equivale a hallar el mcd de estos números. Factorizamos: \[ 48=2^4\cdot 3,\quad 60=2^2\cdot 3\cdot 5,\quad 36=2^2\cdot 3^2,\quad 24=2^3\cdot 3,\quad 72=2^3\cdot 3^2. \] El menor exponente común para \(2\) es \(2^2\) y para \(3\) es \(3^1\). Por lo tanto, \[ \text{mcd}=2^2\cdot 3=4\cdot 3=12. \] Cada contenedor tendrá \(12\) animales. Ahora, el número de contenedores por especie será: \[ \begin{aligned} \text{Peces payaso: } & \frac{48}{12}=4,\\[1mm] \text{Peces globo: } & \frac{60}{12}=5,\\[1mm] \text{Guppys: } & \frac{36}{12}=3,\\[1mm] \text{Pulpos: } & \frac{24}{12}=2,\\[1mm] \text{Peces león: } & \frac{72}{12}=6. \end{aligned} \] --- **e)** Se tienen tres tomas que se activan cada \(6\), \(8\) y \(14\) horas respectivamente. Para hallar cada cuánto inician juntas, calculamos el mcm de \(6\), \(8\) y \(14\). Factorizamos: \[ 6=2\cdot 3,\quad 8=2^3,\quad 14=2\cdot 7. \] Tomando los factores con sus mayores exponentes: \[ \text{mcm}(6,8,14)=2^3\cdot 3\cdot 7=8\cdot 3\cdot 7=168 \quad \text{horas.} \] Si el contador inicia al mediodía y suponiendo un mes de \(30\) días, el total de horas en el mes es: \[ 30\text{ días}\times 24 \,\text{horas/día}=720 \text{ horas.} \] El número de veces que se activan conjuntamente será el número de múltiplos de \(168\) dentro de \(720\) más la activación inicial en \(t=0\). Calculamos: \[ 168 \times 4=672 \quad (\text{dentro de }720), \quad 168 \times 5=840 \quad (\text{excede }720). \] Por lo tanto, las activaciones simultáneas ocurren en: \[ t=0,\;168,\;336,\;504,\;672 \quad \text{horas.} \] Esto da un total de \(5\) veces en el mes.