U7 Es wird stündlich eine Masse an Ethansăurebutylester von \( m_{\mathrm{E}}=2,9 \) t hergestellt. Die entstehende Reaktionswärme von \( \Delta H_{A}=134,6 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} \) wird abgefuhrt und das Reaktionsgemisch mit einer Masse von \( m_{\mathrm{BG}}=3,65 \mathrm{t} \) um \( \Delta T= \) 70 K abgekühlt. Dazu wird stưndlich ein Volumen an Kühlmedium von \( V=48 \mathrm{~m}^{3} \) mit einer Temperatur von \( v_{1}= \) \( 5,0^{\circ} \mathrm{C} \) eingesetzt. Berechnen Sie die Temperatur \( \vartheta_{2} \) (in \( { }^{\circ} \mathrm{C} \) ), auf die sich das Kühlmedium dabei erwärmt. (10 Pkte.) \( c( \) Kühlmedlum) \( =3,69 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) \) \( \varrho( \) Kühlmedium \( )=1,285 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \) \( c( \) Reaktionsgemisch \( )=2,84 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) \) Aufgabenlösung:

Um die Temperatur \( \vartheta_{2} \) des Kühlmediums zu berechnen, folgen wir diesen Schritten: ### Gegebene Werte 1. Masse des Ethansäurebutylesters: \( m_{\mathrm{E}} = 2,9 \, \text{t} = 2900 \, \text{kg} \) 2. Reaktionswärme: \( \Delta H_{A} = 134,6 \, \text{kJ/mol} \) 3. Masse des Reaktionsgemisches: \( m_{\mathrm{BG}} = 3,65 \, \text{t} = 3650 \, \text{kg} \) 4. Temperaturänderung des Reaktionsgemisches: \( \Delta T = 70 \, \text{K} \) 5. Volumen des Kühlmediums: \( V = 48 \, \text{m}^3 \) 6. Temperatur des Kühlmediums: \( v_{1} = 5,0^{\circ} \mathrm{C} \) 7. spezifische Wärmekapazität des Kühlmediums: \( c_{\text{K}} = 3,69 \, \text{kJ/(kg \cdot K)} \) 8. Dichte des Kühlmediums: \( \varrho = 1,285 \, \text{g/cm}^3 = 1285 \, \text{kg/m}^3 \) ### Schritt 1: Berechnung der Masse des Kühlmediums Die Masse des Kühlmediums \( m_{\text{K}} \) kann aus dem Volumen und der Dichte berechnet werden: \[ m_{\text{K}} = V \cdot \varrho = 48 \, \text{m}^3 \cdot 1285 \, \text{kg/m}^3 \] ### Schritt 2: Berechnung der Wärme, die vom Reaktionsgemisch abgeführt wird Die Wärme \( Q \), die vom Reaktionsgemisch abgeführt wird, kann mit der Formel berechnet werden: \[ Q = m_{\mathrm{BG}} \cdot c_{\text{BG}} \cdot \Delta T \] wobei \( c_{\text{BG}} = 2,84 \, \text{kJ/(kg \cdot K)} \). ### Schritt 3: Berechnung der Temperaturänderung des Kühlmediums Die Temperaturänderung des Kühlmediums \( \Delta \vartheta \) kann mit der Formel berechnet werden: \[ Q = m_{\text{K}} \cdot c_{\text{K}} \cdot \Delta \vartheta \] Die Endtemperatur des Kühlmediums \( \vartheta_{2} \) ist dann: \[ \vartheta_{2} = v_{1} + \Delta \vartheta \] ### Berechnungen Jetzt führen wir die Berechnungen durch. 1. Berechnung der Masse des Kühlmediums: \[ m_{\text{K}} = 48 \, \text{m}^3 \cdot 1285 \, \text{kg/m}^3 \] 2. Berechnung der Wärme, die vom Reaktionsgemisch abgeführt wird: \[ Q = 3650 \, \text{kg} \cdot 2,84 \, \text{kJ/(kg \cdot K)} \cdot 70 \, \text{K} \] 3. Berechnung der Temperaturänderung des Kühlmediums: \[ \Delta \vartheta = \frac{Q}{m_{\text{K}} \cdot c_{\text{K}}} \] 4. Berechnung der Endtemperatur \( \vartheta_{2} \): \[ \vartheta_{2} = v_{1} + \Delta \vartheta \] Ich werde nun die Berechnungen durchführen. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(3650\times 2.84\times 70\) - step1: Multiply the terms: \(10366\times 70\) - step2: Multiply the numbers: \(725620\) Calculate or simplify the expression \( 48 * 1285 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(48\times 1285\) - step1: Multiply the numbers: \(61680\) Calculate or simplify the expression \( 725620 / (61680 * 3.69) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{725620}{\left(61680\times 3.69\right)}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{725620}{61680\times 3.69}\) - step2: Multiply the numbers: \(\frac{725620}{227599.2}\) - step3: Convert the expressions: \(\frac{725620}{\frac{1137996}{5}}\) - step4: Multiply by the reciprocal: \(725620\times \frac{5}{1137996}\) - step5: Reduce the numbers: \(181405\times \frac{5}{284499}\) - step6: Multiply: \(\frac{181405\times 5}{284499}\) - step7: Multiply: \(\frac{907025}{284499}\) Calculate or simplify the expression \( 5 + (907025 / 284499) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(5+\frac{907025}{284499}\) - step1: Reduce fractions to a common denominator: \(\frac{5\times 284499}{284499}+\frac{907025}{284499}\) - step2: Transform the expression: \(\frac{5\times 284499+907025}{284499}\) - step3: Multiply the numbers: \(\frac{1422495+907025}{284499}\) - step4: Add the numbers: \(\frac{2329520}{284499}\) ### Berechnungen im Detail 1. **Berechnung der Masse des Kühlmediums:** \[ m_{\text{K}} = 48 \, \text{m}^3 \cdot 1285 \, \text{kg/m}^3 = 61680 \, \text{kg} \] 2. **Berechnung der Wärme, die vom Reaktionsgemisch abgeführt wird:** \[ Q = 3650 \, \text{kg} \cdot 2,84 \, \text{kJ/(kg \cdot K)} \cdot 70 \, \text{K} = 725620 \, \text{kJ} \] 3. **Berechnung der Temperaturänderung des Kühlmediums:** \[ \Delta \vartheta = \frac{Q}{m_{\text{K}} \cdot c_{\text{K}}} = \frac{725620}{61680 \cdot 3.69} = \frac{907025}{284499} \approx 3.19 \, \text{K} \] 4. **Berechnung der Endtemperatur \( \vartheta_{2} \):** \[ \vartheta_{2} = v_{1} + \Delta \vartheta = 5 + \frac{907025}{284499} \approx 5 + 3.19 \approx 8.19 \, \text{°C} \] ### Endergebnis Die Temperatur \( \vartheta_{2} \), auf die sich das Kühlmedium erwärmt, beträgt etwa \( 8.19 \, \text{°C} \).