\( 25 A B C \) est un triangle rectangle en \( A \) tel que: \( A B=8 \mathrm{~cm} \) et \( A C=6 \mathrm{~cm} \). E est un point de \( [A B] \) tel que \( A E=3 \mathrm{~cm} \). F est un point de \( [B C] \). Déterminer la longueur \( B F \) pour que le triangle \( B E F \) soit rectangle en \( E \).
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Pour que le triangle \( B E F \) soit rectangle en \( E \), il doit respecter le théorème de Pythagore. Commençons par identifier les longueurs connues. Nous savons que \( E \) est à \( 3 \, \text{cm} \) de \( A \), donc la longueur de \( E B \) est \( A B - A E = 8 - 3 = 5 \, \text{cm} \). Le triangle \( A B C \) est un triangle rectangle, donc nous pouvons utiliser les coordonnées. Supposons que \( A(0,0) \), \( B(8,0) \) et \( C(0,6) \). Avec \( E(3,0) \), pour que \( B E F \) soit rectangle en \( E \), nous devons avoir \( B E^2 + E F^2 = B F^2 \). Nous connaissons \( B E = 5 \), donc \( 5^2 + E F^2 = B F^2 \) nous amène à \( 25 + E F^2 = B F^2 \). Nous pouvons calculer la longueur \( E F \) en déterminant le point \( F \). Pour que le triangle soit rectangle, la distance \( E F \) doit respecter la relation de Pythagore. La longueur \( B F \) peut être déterminée par \( B F = \sqrt{25 + E F^2} \). En conclusion, \( B F \) varie en fonction de la position de \( F \) le long de \( [B C] \). Ainsi, pour un \( E F \) donné, nous pouvons déterminer \( B F \) en utilisant la formule ci-dessus.
