\( 25 A B C \) est un triangle rectangle en \( A \) tel que: \( A B=8 \mathrm{~cm} \) et \( A C=6 \mathrm{~cm} \). E est un point de \( [A B] \) tel que \( A E=3 \mathrm{~cm} \). F est un point de \( [B C] \). Déterminer la longueur \( B F \) pour que le triangle \( B E F \) soit rectangle en \( E \).

Pour déterminer la longueur \( BF \) de manière à ce que le triangle \( BEF \) soit rectangle en \( E \), procédons de la manière suivante : 1. **Coordonnées des points :** - Supposons \( A \) à l’origine \((0,0)\). - \( B \) est à \((8,0)\) (car \( AB = 8 \) cm). - \( C \) est à \((0,6)\) (car \( AC = 6 \) cm). - \( E \) est sur \( [AB] \) à \((3,0)\) (car \( AE = 3 \) cm). 2. **Coordonnées du point \( F \) sur \( [BC] \) :** - La droite \( BC \) relie \( B(8,0) \) à \( C(0,6) \). - Elle peut être paramétrée par \( F(x, y) \) où \( y = 6 - 0,75x \) (pente de la droite \( BC \)). 3. **Condition pour que \( BEF \) soit rectangle en \( E \) :** - Pour que le triangle \( BEF \) soit rectangle en \( E \), les vecteurs \( \overrightarrow{BE} \) et \( \overrightarrow{EF} \) doivent être orthogonaux. - Calcul des vecteurs : - \( \overrightarrow{BE} = (-5, 0) \) - \( \overrightarrow{EF} = (x - 3, y) \) - Orthogonalité : \( \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{EF} = 0 \) \[ -5(x - 3) + 0 \cdot y = 0 \implies x = 3 \] 4. **Coordonnées de \( F \) :** - En prenant \( x = 3 \) dans l'équation de la droite \( BC \), on trouve : \[ y = 6 - 0,75 \times 3 = 3,75 \, \text{cm} \] - Donc, \( F \) est à \((3, 3,75)\). 5. **Calcul de \( BF \) :** - Utilisons la distance entre \( B(8,0) \) et \( F(3, 3,75) \) : \[ BF = \sqrt{(8 - 3)^2 + (0 - 3,75)^2} = \sqrt{25 + 14,0625} = \sqrt{39,0625} = \frac{25}{4} \, \text{cm} \] **Conclusion :** La longueur \( BF \) est égale à \( \frac{25}{4} \) cm, soit **6,25 cm**.