13. Тендеуді шешіңіздер: \( \frac{5 x-7}{x-3}=\frac{4 x-3}{x} \)

Для решения уравнения \( \frac{5 x-7}{x-3}=\frac{4 x-3}{x} \) начнем с перекрестного умножения: \[ (5x - 7)x = (4x - 3)(x - 3). \] Раскроем скобки: \[ 5x^2 - 7x = 4x^2 - 12x - 3x + 9. \] Упрощая правую часть, получаем: \[ 5x^2 - 7x = 4x^2 - 15x + 9. \] Теперь перенесем все термины в одну сторону: \[ 5x^2 - 4x^2 + 15x - 7x - 9 = 0, \] \[ x^2 + 8x - 9 = 0. \] Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу решения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1, b = 8, c = -9 \). Вычисляем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100. \] Теперь подставим в формулу: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 10}{2}. \] Итак, найдём два решения: 1. \( x_1 = \frac{2}{2} = 1 \), 2. \( x_2 = \frac{-18}{2} = -9 \). Не забудьте проверить, что данные значения не делают знаменатели равными нулю в исходном уравнении. Значения \( x = 1 \) и \( x = -9 \) не приводят к нулевым знаменателям (т.е., при \( x=1 \) знаменатель \( x-3 = -2 \), а при \( x=-9 \) знаменатель \( x = -9 \) соответственно не равен нулю). Таким образом, решения уравнения: \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -9. \]