Activa tus competencias $$ \square $$ $$ \operatorname{Cg} 1,4,5,6,7,8 $$ Cd 1, 2, 3, 5 Encuentra los siguientes valores de las parejas ordenadas $$ (x, y) $$, dadas las siguientes razones: $$ x y \times y $$ 1) $$ M(-1,2 $$ 1. $$ A(1,6) $$ y $$ B(4,-2) $$ con $$ r_{a b}=\frac{1}{3} $$ $$ m \overline{A B}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \quad M \frac{3}{A B}=\frac{-8}{3} $$ $$ M \overline{A B}=\frac{-2-6}{4-1} $$ 2. $$ K(4,5) $$ y $$ L(3,8) $$ con $$ r_{k l}=\frac{2}{3} $$ $$ \begin{array}{l} M_{K L}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \quad M \overline{K L}= \ M \overline{K L}=\frac{5-8}{8-5} \end{array} $$ 3. $$ M(-1,6) $$ y $$ N(3,-2) $$ con $$ r_{m n}=2 $$ 9) $$ P(3,2) $$ 4. $$ H(-4,1) $$ y $$ \begin{aligned} x y(2,5) & \text { con } r_{h k}=\frac{3}{4}\end{aligned} $$

Question

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Para resolver el problema, vamos a seguir los pasos necesarios para encontrar los valores de las parejas ordenadas $$ (x, y) $$ dadas las razones. Vamos a analizar cada caso por separado.

### 1. Para los puntos $$ A(1,6) $$ y $$ B(4,-2) $$ con $$ r_{ab}=\frac{1}{3} $$

Primero, calculamos la pendiente de la línea que une los puntos $$ A $$ y $$ B $$:

$$
M \overline{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 6}{4 - 1} = \frac{-8}{3}
$$

Dado que $$ r_{ab} = \frac{1}{3} $$, podemos usar esta razón para encontrar el punto $$ M $$ que divide el segmento $$ AB $$ en la razón $$ 1:3 $$.

Usamos la fórmula del punto que divide un segmento en una razón $$ m:n $$:

$$
M = \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n} \right)
$$

Sustituyendo $$ m = 1 $$, $$ n = 3 $$, $$ A(1,6) $$ y $$ B(4,-2) $$:

$$
M = \left( \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 1}{1 + 3}, \frac{1 \cdot (-2) + 3 \cdot 6}{1 + 3} \right)
$$

Calculamos:

$$
M = \left( \frac{4 + 3}{4}, \frac{-2 + 18}{4} \right) = \left( \frac{7}{4}, \frac{16}{4} \right) = \left( \frac{7}{4}, 4 \right)
$$

### 2. Para los puntos $$ K(4,5) $$ y $$ L(3,8) $$ con $$ r_{kl}=\frac{2}{3} $$

Calculamos la pendiente de la línea que une los puntos $$ K $$ y $$ L $$:

$$
M \overline{KL} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 5}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3
$$

Usamos la razón $$ r_{kl} = \frac{2}{3} $$:

$$
M = \left( \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 4}{2 + 3}, \frac{2 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{2 + 3} \right)
$$

Calculamos:

$$
M = \left( \frac{6 + 12}{5}, \frac{16 + 15}{5} \right) = \left( \frac{18}{5}, \frac{31}{5} \right)
$$

### 3. Para los puntos $$ M(-1,6) $$ y $$ N(3,-2) $$ con $$ r_{mn}=2 $$

Calculamos la pendiente de la línea que une los puntos $$ M $$ y $$ N $$:

$$
M \overline{MN} = \frac{-2 - 6}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2
$$

Usamos la razón $$ r_{mn} = 2 $$:

$$
M = \left( \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1)}{2 + 1}, \frac{2 \cdot (-2) + 1 \cdot 6}{2 + 1} \right)
$$

Calculamos:

$$
M = \left( \frac{6 - 1}{3}, \frac{-4 + 6}{3} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3} \right)
$$

### 4. Para los puntos $$ H(-4,1) $$ y $$ K(2,5) $$ con $$ r_{hk}=\frac{3}{4} $$

Calculamos la pendiente de la línea que une los puntos $$ H $$ y $$ K $$:

$$
M \overline{HK} = \frac{5 - 1}{2 - (-4)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
$$

Usamos la razón $$ r_{hk} = \frac{3}{4} $$:

$$
M = \left( \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot (-4)}{3 + 4}, \frac{3 \cdot 5 + 4 \cdot 1}{3 + 4} \right)
$$

Calculamos:

$$
M = \left( \frac{6 - 16}{7}, \frac{15 + 4}{7} \right) = \left( \frac{-10}{7}, \frac{19}{7} \right)
$$

### Resumen de resultados

1. $$ M $$ para $$ A(1,6) $$ y $$ B(4,-2) $$: $$ \left( \frac{7}{4}, 4 \right) $$
2. $$ M $$ para $$ K(4,5) $$ y $$ L(3,8) $$: $$ \left( \frac{18}{5}, \frac{31}{5} \right) $$
3. $$ M $$ para $$ M(-1,6) $$ y $$ N(3,-2) $$: $$ \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3} \right) $$
4. $$ M $$ para $$ H(-4,1) $$ y $$ K(2,5) $$: $$ \left( \frac{-10}{7}, \frac{19}{7} \right) $$

Estos son los valores de las parejas ordenadas $$ (x, y) $$ para cada caso.
Los puntos $$ M $$ para cada par de puntos son: 1. $$ M(1.75, 4) $$ para $$ A(1,6) $$ y $$ B(4,-2) $$ 2. $$ M(3.6, 6.2) $$ para $$ K(4,5) $$ y $$ L(3,8) $$ 3. $$ M(1.666..., 0.666...) $$ para $$ M(-1,6) $$ y $$ N(3,-2) $$ 4. $$ M(-1.428..., 2.714...) $$ para $$ H(-4,1) $$ y $$ K(2,5) $$ Estos son los valores de las parejas ordenadas $$ (x, y) $$ para cada caso.

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