Una persona quiere ahorrar \( \$ 75,000 \) en 3 años con depósitos mensuales anticipados a una tasa del \( 5 \% \) anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será la renta mensual?

Sea \( i=\frac{0.05}{12} \) la tasa mensual y \( n=36 \) el número de períodos (3 años × 12 meses). Como los depósitos son anticipados (al inicio de cada mes), la relación del valor futuro de una anualidad anticipada es \[ VF = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} \cdot (1+i) \] donde \( VF = 75\,000 \) \( R \) es la renta mensual que queremos hallar. 1. Escribimos la ecuación: \[ 75\,000 = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} \cdot (1+i) \] 2. Sustituyendo \( i=\frac{0.05}{12} \) y \( n=36 \): \[ 75\,000 = R \cdot \frac{\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{36} - 1}{\frac{0.05}{12}} \cdot \left(1+\frac{0.05}{12}\right) \] 3. Despejamos \( R \): \[ R = \frac{75\,000}{\displaystyle \frac{\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{36} - 1}{\frac{0.05}{12}} \cdot \left(1+\frac{0.05}{12}\right)} \] 4. Calculamos los componentes numéricos: - \( i = \frac{0.05}{12} \approx 0.00416667 \) - \( 1+i \approx 1.00416667 \) - \( (1+i)^{36} \approx 1.1616 \) (Esta aproximación se obtiene considerando \( (1.00416667)^{36} \approx e^{36\ln(1.00416667)} \) y \( \ln(1.00416667) \approx 0.00415888 \).) 5. Entonces: - \( (1+i)^{36} - 1 \approx 1.1616 - 1 = 0.1616 \) - La razón es \[ \frac{(1+i)^{36} - 1}{i} \approx \frac{0.1616}{0.00416667} \approx 38.784 \] - Multiplicando por \( (1+i) \): \[ 38.784 \times 1.00416667 \approx 38.941 \] 6. Finalmente, la renta mensual es \[ R \approx \frac{75\,000}{38.941} \approx 1926.74 \] Por lo tanto, la renta mensual aproximada es de \( \$1\,926.74 \).