Dado el vector oc poición de una particula \( r(t)=(t+1) i+2 t \hat{j}+t^{3} k \) obterga la magntud de oceleauon normel y acelercuón tangenciol en \( t=1 \)

Para encontrar la magnitud de la aceleración normal y la aceleración tangencial, primero debemos calcular la velocidad y la aceleración de la partícula. La velocidad \( v(t) \) se obtiene derivando el vector posición \( r(t) \): \[ v(t) = \frac{dr(t)}{dt} = \frac{d}{dt}((t+1)i + 2tj + t^3k) = i + 2j + 3t^2k \] Evaluando en \( t=1 \): \[ v(1) = i + 2j + 3k \] La magnitud de la velocidad es: \[ |v(1)| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} \] Ahora, derivamos \( v(t) \) para encontrar la aceleración \( a(t) \): \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = 0i + 2j + 6tk \] Evaluando en \( t=1 \): \[ a(1) = 0i + 2j + 6k \] La magnitud de la aceleración es: \[ |a(1)| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] La aceleración tangencial \( a_t \) se estima como el componente de la aceleración en la dirección de la velocidad, dado por \( a_t = \frac{a \cdot v}{|v|} \): \[ a \cdot v = (0)(1) + (2)(2) + (6)(3) = 0 + 4 + 18 = 22 \] Entonces: \[ a_t = \frac{22}{\sqrt{14}} \] La aceleración normal \( a_n \) se calcula usando la relación \( a_n = \sqrt{|a|^2 - a_t^2} \): \[ a_n = |a|^2 - a_t^2 \] Primero, calculamos \( |a(1)|^2 \): \[ |a(1)|^2 = 40 \] Finalmente, la magnitud de la aceleración normal y tangencial en \( t=1 \) se puede calcular, ¡y voilà! Estás listo para explorar más conceptos de dinámica.