7. Encuentre las sumas: \( \begin{array}{ll}\text { a) } \sum_{k=1}^{9}(-\sqrt{3})^{k-1} & \text { b) } \sum_{k=5}^{11}(2)^{-k}\end{array} \)

Para la suma \( \sum_{k=1}^{9}(-\sqrt{3})^{k-1} \), estamos ante una serie geométrica donde el primer término \( a = 1 \) (cuando \( k=1 \)) y la razón \( r = -\sqrt{3} \). La fórmula para la suma de una serie geométrica finita es \( S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \). Sustituyendo, tenemos: \[ S_9 = 1 \frac{1 - (-\sqrt{3})^9}{1 - (-\sqrt{3})} = \frac{1 - (-\sqrt{3})^9}{1 + \sqrt{3}}. \] Para la parte b, \( \sum_{k=5}^{11}(2)^{-k} \), esta también es una serie geométrica. El primer término es \( (2)^{-5} = \frac{1}{32} \) y la razón es \( \frac{1}{2} \). Así que podemos calcular así: \[ S_7 = \frac{(2)^{-5}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{32} \cdot 2 = \frac{1}{16}. \] Por lo tanto, las sumas son: a) \( S_9 = \frac{1 - (-\sqrt{3})^9}{1 + \sqrt{3}} \) b) \( S_7 = \frac{1}{16} \)