4. Aplicar la división de polinomios en los siguientes ejercicios; $$ \begin{array}{ll} ext { A. }\left(3 x^{3}-5 x^{3}+x-2 ight) \div(x+2) & ext { B. }\left(2 x^{3}+4 x-3 x^{2}-2 ight) \div(2 x+1) \ ext { 5. Simplificar las expresiones indicadas y expresar los resultados con expone }\end{array} $$

Question

4. Aplicar la división de polinomios en los siguientes ejercicios; $$ \begin{array}{ll}	ext { A. }\left(3 x^{3}-5 x^{3}+x-2ight) \div(x+2) & 	ext { B. }\left(2 x^{3}+4 x-3 x^{2}-2ight) \div(2 x+1) \ 	ext { 5. Simplificar las expresiones indicadas y expresar los resultados con expone }\end{array} $$

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$$
\textbf{Ejercicio A: } \frac{3x^3-5x^3+x-2}{x+2}
$$

Observamos que en el numerador se tienen dos términos semejantes: 
$$
3x^3-5x^3 = -2x^3.
$$
Por lo tanto, reescribimos el dividendo de forma completa, incluyendo los coeficientes nulos para ordenar los términos:
$$
P(x) = -2x^3 + 0x^2 + x -2.
$$
Procedemos con la división larga de $$P(x)$$ entre el divisor $$D(x)=x+2$$.

1. $$\underline{\text{Primer paso:}}$$ Dividimos el término de mayor grado:
   $$
   \frac{-2x^3}{x} = -2x^2.
   $$
   Multiplicamos el divisor por $$-2x^2$$:
   $$
   -2x^2(x+2) = -2x^3 - 4x^2.
   $$
   Restamos:
   $$
   \begin{array}{rcl}
   (-2x^3+0x^2) - (-2x^3-4x^2) &=& 4x^2.
   \end{array}
   $$
   El nuevo residuo es $$4x^2+x-2$$ (llevamos el siguiente término $$+x$$).

2. $$\underline{\text{Segundo paso:}}$$ Dividimos $$4x^2$$ entre $$x$$:
   $$
   \frac{4x^2}{x} = 4x.
   $$
   Multiplicamos el divisor:
   $$
   4x(x+2) = 4x^2+8x.
   $$
   Restamos:
   $$
   \begin{array}{rcl}
   (4x^2+x) - (4x^2+8x) &=& -7x.
   \end{array}
   $$
   El nuevo residuo es $$-7x-2$$ (se baja el $$-2$$).

3. $$\underline{\text{Tercer paso:}}$$ Dividimos $$-7x$$ entre $$x$$:
   $$
   \frac{-7x}{x} = -7.
   $$
   Multiplicamos el divisor:
   $$
   -7(x+2) = -7x-14.
   $$
   Restamos:
   $$
   (-7x-2) - (-7x-14) = 12.
   $$
   Como el residuo $$12$$ es de grado menor que el del divisor, terminamos la división.

El cociente es:
$$
Q(x) = -2x^2 + 4x -7,
$$
y el residuo es:
$$
R = 12.
$$
Por lo tanto, la división se expresa como:
$$
\frac{-2x^3+x-2}{x+2} = -2x^2+4x-7 + \frac{12}{x+2}.
$$

---

$$
\textbf{Ejercicio B: } \frac{2x^3+4x-3x^2-2}{2x+1}
$$

Primero, reordenamos el numerador en orden decreciente de grados:
$$
2x^3 - 3x^2 + 4x -2.
$$
Procedemos con la división larga de $$P(x)=2x^3 - 3x^2 + 4x -2$$ entre el divisor $$D(x)=2x+1$$.

1. $$\underline{\text{Primer paso:}}$$ Dividimos el término de mayor grado:
   $$
   \frac{2x^3}{2x} = x^2.
   $$
   Multiplicamos el divisor:
   $$
   x^2(2x+1) = 2x^3 + x^2.
   $$
   Restamos:
   $$
   (2x^3 - 3x^2) - (2x^3 + x^2) = -4x^2.
   $$
   Se baja el siguiente término $$+4x$$, quedando:
   $$
   -4x^2 + 4x.
   $$

2. $$\underline{\text{Segundo paso:}}$$ Dividimos $$ -4x^2$$ entre $$2x$$:
   $$
   \frac{-4x^2}{2x} = -2x.
   $$
   Multiplicamos el divisor:
   $$
   -2x(2x+1) = -4x^2 -2x.
   $$
   Restamos:
   $$
   (-4x^2+4x) - (-4x^2-2x) = 6x.
   $$
   Bajamos el $$-2$$:
   $$
   6x -2.
   $$

3. $$\underline{\text{Tercer paso:}}$$ Dividimos $$6x$$ entre $$2x$$:
   $$
   \frac{6x}{2x} = 3.
   $$
   Multiplicamos el divisor:
   $$
   3(2x+1) = 6x+3.
   $$
   Restamos:
   $$
   (6x-2) - (6x+3) = -5.
   $$
   El residuo es $$-5$$, de grado menor que el divisor.

El cociente es:
$$
Q(x) = x^2 -2x + 3,
$$
y el residuo es:
$$
R = -5.
$$
Por lo tanto, la división se expresa como:
$$
\frac{2x^3 - 3x^2 + 4x -2}{2x+1} = x^2 -2x + 3 + \frac{-5}{2x+1} \quad \text{o} \quad x^2 -2x + 3 - \frac{5}{2x+1}.
$$
**Ejercicio A:** $$ \frac{3x^3 - 5x^3 + x - 2}{x + 2} = -2x^2 + 4x - 7 + \frac{12}{x + 2} $$ **Ejercicio B:** $$ \frac{2x^3 + 4x - 3x^2 - 2}{2x + 1} = x^2 - 2x + 3 - \frac{5}{2x + 1} $$

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