15. Укажіть кількість коренів * 1 балл рівняння $$ \operatorname{tg} \mathrm{x}=\sqrt{ } 3 $$ на відрізку [ $$ 0 ; 3 \pi] $$. жодного два один чотири три

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Рассмотрим уравнение

$$
\tan x = \sqrt{3}.
$$

Общее решение такого уравнения имеет вид

$$
x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
$$

Нужно найти количество корней на отрезке $$[0, 3\pi]$$. Для этого определим такие целые значения $$k$$, для которых

$$
0 \le \frac{\pi}{3} + k\pi \le 3\pi.
$$

В неравенстве сначала рассмотрим левую часть:

$$
\frac{\pi}{3} + k\pi \ge 0 \quad \Rightarrow \quad k\pi \ge -\frac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad k \ge -\frac{1}{3}.
$$

Так как $$k$$ целое, минимальное значение $$-\frac{1}{3}$$ даёт $$k = 0$$.

Теперь правая часть:

$$
\frac{\pi}{3} + k\pi \le 3\pi \quad \Rightarrow \quad k\pi \le 3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad k \le \frac{8}{3}.
$$

Так как $$\frac{8}{3} \approx 2.67$$, максимальное целое $$k$$ равно 2.

Следовательно, $$k$$ принимает значения: $$0$$, $$1$$ и $$2$$.

Подставляем:

- При $$k = 0$$: $$x = \frac{\pi}{3}$$.
- При $$k = 1$$: $$x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$$.
- При $$k = 2$$: $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$.

Таким образом, на отрезке $$[0, 3\pi]$$ уравнение имеет ровно три корня.

Ответ: три.
На отрезке $$[0, 3\pi]$$ уравнение $$\tan x = \sqrt{3}$$ имеет три корня: $$x = \frac{\pi}{3}$$, $$x = \frac{4\pi}{3}$$, и $$x = \frac{7\pi}{3}$$.

15. Укажіть кількість коренів * 1 балл рівняння \( \operatorname{tg} \mathrm{x}=\sqrt{ } 3 \) на відрізку [ \( 0 ; 3 \pi] \). жодного два один чотири три

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Trigonometry Questions