Hallar la solución Por el metado de la nuersa $$ \begin{array}{l}X=A^{-1} B\end{array} $$ $$ \begin{array}{r}-4 x_{3}=0 \ x_{2}+3 x_{3}=5 \ 5 x_{1}+3 x_{2}-8 x_{3}=1\end{array} $$ Hallar la inversa utilizandu el metodo de Grauss-Jordan $$ [A \mid I]:\left[I \mid A^{-1} ight] $$

Question

Hallar la solución Por el metado de la nuersa $$ \begin{array}{l}X=A^{-1} B\end{array} $$ $$ \begin{array}{r}-4 x_{3}=0 \ x_{2}+3 x_{3}=5 \ 5 x_{1}+3 x_{2}-8 x_{3}=1\end{array} $$ Hallar la inversa utilizandu el metodo de Grauss-Jordan $$ [A \mid I]:\left[I \mid A^{-1}ight] $$

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Para resolver el sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss-Jordan y encontrar la inversa de la matriz $$ A $$, seguiremos los siguientes pasos:

1. **Escribir el sistema en forma de matriz aumentada**: 
   El sistema de ecuaciones se puede representar en forma de matriz aumentada $$ [A | I] $$, donde $$ A $$ es la matriz de coeficientes y $$ I $$ es la matriz identidad.

Las ecuaciones son:
   $$
   \begin{align*}
   -4x_3 &= 0 \
   x_2 + 3x_3 &= 5 \
   5x_1 + 3x_2 - 8x_3 &= 1
   \end{align*}
   $$

La matriz de coeficientes $$ A $$ y la matriz identidad $$ I $$ son:
   $$
   A = \begin{bmatrix}
   5 & 3 & -8 \
   0 & 1 & 3 \
   0 & 0 & -4
   \end{bmatrix}, \quad I = \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \
   0 & 1 & 0 \
   0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   $$

Entonces, la matriz aumentada es:
   $$
   [A | I] = \begin{bmatrix}
   5 & 3 & -8 & | & 1 & 0 & 0 \
   0 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \
   0 & 0 & -4 & | & 0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   $$

2. **Aplicar el método de Gauss-Jordan**: 
   Vamos a transformar la matriz aumentada en la forma escalonada reducida.

- Primero, dividimos la tercera fila por $$-4$$ para hacer que el pivote sea 1:
   $$
   R_3 \leftarrow \frac{1}{-4} R_3
   $$
   Esto nos da:
   $$
   \begin{bmatrix}
   5 & 3 & -8 & | & 1 & 0 & 0 \
   0 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \
   0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & -\frac{1}{4}
   \end{bmatrix}
   $$

- Ahora, eliminamos el tercer elemento de la primera y segunda fila:
   $$
   R_1 \leftarrow R_1 + 8R_3
   $$
   $$
   R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3
   $$
   Esto nos da:
   $$
   \begin{bmatrix}
   5 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 2 \
   0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & \frac{3}{4} \
   0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & -\frac{1}{4}
   \end{bmatrix}
   $$

- Ahora, dividimos la primera fila por 5:
   $$
   R_1 \leftarrow \frac{1}{5} R_1
   $$
   Esto nos da:
   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & \frac{3}{5} & 0 & | & \frac{1}{5} & 0 & \frac{2}{5} \
   0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & \frac{3}{4} \
   0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & -\frac{1}{4}
   \end{bmatrix}
   $$

- Finalmente, eliminamos el segundo elemento de la primera fila:
   $$
   R_1 \leftarrow R_1 - \frac{3}{5}R_2
   $$
   Esto nos da la forma final:
   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{7}{20} \
   0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & \frac{3}{4} \
   0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & -\frac{1}{4}
   \end{bmatrix}
   $$

3. **Extraer la inversa de la matriz**: 
   La parte derecha de la matriz aumentada ahora representa la inversa de $$ A $$:
   $$
   A^{-1} = \begin{bmatrix}
   \frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{7}{20} \
   0 & 1 & \frac{3}{4} \
   0 & 0 & -\frac{1}{4}
   \end{bmatrix}
   $$

4. **Solución del sistema**: 
   Ahora que tenemos $$ A^{-1} $$, podemos encontrar $$ X $$ usando la relación $$ X = A^{-1}B $$. Sin embargo, no se ha proporcionado el vector $$ B $$ en el problema. Si se proporciona, podemos calcular $$ X $$.

Por lo tanto, hemos encontrado la inversa de la matriz $$ A $$ utilizando el método de Gauss-Jordan. Si necesitas más ayuda o si tienes el vector $$ B $$, por favor házmelo saber.
La inversa de la matriz $$ A $$ es: $$ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{7}{20} \ 0 & 1 & \frac{3}{4} \ 0 & 0 & -\frac{1}{4} \end{bmatrix} $$

Hallar la solución
Por el metado de la nuersa

Hallar la inversa utilizandu
el metodo de Grauss-Jordan

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